Prove que p^2=2 p0 p-|p|^2, onde (a) p=i+j+k; (b) p=i; (c) p=j; (d) p=k; p=10-16 i+2raiz6 j-1raiz6 k ; (f) p=1-1raiz19 i+3raiz19 j-3raiz19 k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de quaternions
p^2 ;=; 2,p0,p;-;|p|^2
para várias escolhas de p=p0+p1i+p2j+p3k. Vamos usar a regra de multiplicação de quaternions e a definição de norma.

Passo 2

Seja p=p0+v, onde v=p1i+p2j+p3k. Então
p^2 &=(p0+v)(p0+v) =p0^2+p0v+vp0+v^2
Como p0 é escalar commute com v, p0v+vp0=2p0v. E sabe-se que
v^2 =(p1i+p2j+p3k)^2 =-(p1^2+p2^2+p3^2) =-|v|^2
Logo
p^2 =p0^2-|v|^2+2p0v =(2p0)(p0+v)-(p0^2+|v|^2) =2p0,p-|p|^2

Passo 3

Agora verificamos caso a caso.
(a) p=i+j+k.
Então p0=0, v=i+j+k, |v|^2=1+1+1=3.
p^2 =(i+j+k)^2 =i^2+j^2+k^2+(ij+ji)+(ik+ki)+(jk+kj) =-1-1-1+0+0+0 =-3
E do lado direito
2p0p-|p|^2 =2cdot0cdot(i+j+k)-(0^2+3) =-3
(b) p=i.
Aqui p0=0, |v|^2=1.
p^2=i^2=-1 e
2cdot0cdot i-(0^2+1)=-1 .
(c) p=j.
Análogo: j^2=-1 e 2cdot0cdot j-1=-1.
(d) p=k.
Análogo: k^2=-1 e 2cdot0cdot k-1=-1.
(e) p=10-tfrac16i+tfrac2raiz6j-tfrac1raiz6k.
Aqui p0=10 e
|v|^2 =l(-tfrac16r)^2 +l(tfrac2raiz6r)^2 +l(-tfrac1raiz6r)^2 =tfrac136+tfrac46+tfrac16 =tfrac136+1=tfrac3736
Pelo caso geral
p^2 =2cdot10,p-(10^2+tfrac3736) =20,p-tfrac103736,
e verificaria expansão direta.
(f) p=1-tfrac1raiz19i+tfrac3raiz19j-tfrac3raiz19k.
Aqui p0=1 e
|v|^2 =tfrac119+ tfrac919+ tfrac919 =tfrac1919=1
Logo
p^2 =2cdot1,p-(1^2+1) =2,p-2,
novamente coincidente com expansão direta.

Resposta

Em todos os casos confirmamos que
p^2=2,p0,p-|p|^2

Exercícios relacionados