Prove que
, onde (a)
; (b)
; (c)
; (d)
;
(f)
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade de quaternions
para várias escolhas de
. Vamos usar a regra de multiplicação de quaternions e a definição de norma.
Passo 2
Seja
, onde
. Então
Como
é escalar commute com
,
. E sabe-se que
Logo
Passo 3
Agora verificamos caso a caso.
(a)
.
Então ,
,
.
Então
E do lado direito
(b)
.
Aqui ,
.
e
.
Aqui
(c)
.
Análogo: e
.
Análogo:
(d)
.
Análogo: e
.
Análogo:
(e)
.
Aqui e
Aqui
Pelo caso geral
e verificaria expansão direta.
(f)
.
Aqui e
Aqui
Logo
novamente coincidente com expansão direta.
Resposta
Em todos os casos confirmamos que