Mostre que 2 é um elemento redutível em Z[i]. Conclua que neste anel 2 não é primo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que no anel dos inteiros gaussianos Z[i] o número 2 pode ser escrito como produto de dois elementos não-invertíveis (logo é redutível) e, daí, concluir que 2 não é primo.

Passo 2

Precisamos achar uma fatoração de 2 em Z[i]. Observe que
1+i;e;1-i
são inteiros gaussianos e que
(1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2

Passo 3

Agora precisamos verificar que nem 1+i nem 1-i são unidades em Z[i]. Para isso, usamos a norma em Z[i], definida por N(a+bi)=a^2+b^2.
Calculamos
N(1+i)=1^2+1^2=2>1,N(1-i)=1^2+(-1)^2=2>1

Passo 4

Como a norma de unidade deve ser 1, concluímos que nem 1+i nem 1-i são unidades.
Portanto, 2 é produto de dois não-unidades em Z[i], o que mostra que 2 é redutível. Em anéis integrais, todo elemento primo é irreduzível. Logo, sendo 2 redutível, ele não pode ser primo em Z[i].

Resposta

2 é redutível em Z[i] pois 2=(1+i)(1-i) com 1+i e 1-i não-unidades. Logo, 2 não é primo neste anel.

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