Mostre que 2 é um elemento redutível em
. Conclua que neste anel 2 não é primo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que no anel dos inteiros gaussianos
o número 2 pode ser escrito como produto de dois elementos não-invertíveis (logo é redutível) e, daí, concluir que 2 não é primo.
Passo 2
Precisamos achar uma fatoração de 2 em
. Observe que
são inteiros gaussianos e que
Passo 3
Agora precisamos verificar que nem
nem
são unidades em
. Para isso, usamos a norma em
, definida por
.
Calculamos
Calculamos
Passo 4
Como a norma de unidade deve ser 1, concluímos que nem
nem
são unidades.
Portanto, 2 é produto de dois não-unidades em , o que mostra que 2 é redutível. Em anéis integrais, todo elemento primo é irreduzível. Logo, sendo 2 redutível, ele não pode ser primo em
.
Portanto, 2 é produto de dois não-unidades em
Resposta
2 é redutível em
pois
com
e
não-unidades. Logo, 2 não é primo neste anel.