Verifique se os polinômios abaixo são irredutíveis em Q[X] :
h(X)=3 X^4-70 X^3-14 X^2+28

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio h(X)=3X^4 -70X^3 -14X^2 +28 é irredutível em Q[X]. Vamos usar o teste da raiz racional e a tentativa de fatoração em quadráticas.

Passo 2

Pelo teste da raiz racional, as possíveis raízes são pm fatores de 28 dividido por fatores de 3, ou seja pm1,pm2,pm4,pm7,pm14,pm28,pmtfrac13,pmtfrac23,dots. Verificando cada uma, não encontramos nenhum valor que zere h(X), logo não há fator linear em Q[X].

Passo 3

Para fatorações possíveis, só resta um produto de duas quadráticas. Assumimos primeiro
(3X^2 + pX + q)(X^2 + rX + s) = 3X^4 -70X^3 -14X^2 +0X +28

Passo 4

Desenvolvendo e igualando coeficientes, obtemos o sistema em p,q,r,s:
3r + p = -70,3s + pr + q = -14,ps + qr = 0,qs = 28

Passo 5

Testamos todas as combinações inteiras de (q,s) com qs=28 e não encontramos valores de (p,r) que satisfaçam todas as equações.

Passo 6

Repetimos o mesmo raciocínio trocando a ordem dos fatores, isto é
(X^2 + pX + q)(3X^2 + rX + s) = 3X^4 -70X^3 -14X^2 +0X +28,

Passo 7

e novamente não surge nenhuma solução racional para (p,q,r,s).

Passo 8

Como não há raiz racional nem fatoração em duas quadráticas racionais, concluímos que h(X) é irredutível em Q[X].

Resposta

O polinômio h(X)=3X^4 -70X^3 -14X^2 +28 é irredutível em Q[X].

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