Verifique se os polinômios abaixo são irredutíveis em Q[X] :
m(X)=X^3+X^2+X+4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinómio m(X)=X^3+X^2+X+4 é irredutível em Q[X]. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que diz que quaisquer raízes racionais de um polinómio com coeficientes inteiros têm numerador divisor do termo independente e denominador divisor do coeficiente líder.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes de m(X) são pm1,pm2,pm4, pois o termo independente é 4 e o coeficiente de X^3 é 1.

Passo 3

Avaliamos m(X) nessas raízes: m(1)=1+1+1+4=7, m(-1)=-1+1-1+4=3, m(2)=8+4+2+4=18, m(-2)=-8+4-2+4=-2, m(4)=64+16+4+4=88, m(-4)=-64+16-4+4=-48. Nenhum desses valores é zero, logo não há raiz racional.

Passo 4

Como m(X) tem grau 3, qualquer fatoração não trivial em Q[X] incluiria um fator de grau 1 (um fator linear), o que implicaria numa raiz racional. Como não encontramos raiz racional, concluímos que m(X) não admite fatoração não trivial.

Passo 5

Portanto, m(X) é irredutível em Q[X].

Resposta

O polinómio m(X)=X^3+X^2+X+4 é irredutível em Q[X].

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