Verifique se os polinômios abaixo são irredutíveis em
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinómio
é irredutível em
. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que diz que quaisquer raízes racionais de um polinómio com coeficientes inteiros têm numerador divisor do termo independente e denominador divisor do coeficiente líder.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes de
são
, pois o termo independente é
e o coeficiente de
é
.
Passo 3
Avaliamos
nessas raízes:
,
,
,
,
,
. Nenhum desses valores é zero, logo não há raiz racional.
Passo 4
Como
tem grau 3, qualquer fatoração não trivial em
incluiria um fator de grau 1 (um fator linear), o que implicaria numa raiz racional. Como não encontramos raiz racional, concluímos que
não admite fatoração não trivial.
Passo 5
Portanto,
é irredutível em
.
Resposta
O polinómio
é irredutível em
.