Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Observe que, ao chegar em
, o numerador
e o denominador
, gerando forma indeterminada
. Vamos ver se esse limite é independente da direção de aproximação (isto é, se é o mesmo por todos os caminhos) ou se dá valores diferentes dependendo do caminho.
Passo 2
Mude de variável para simplificar a expansão em torno de
. Defina
de modo que
equivale a
. Escreva a função em termos de
:
Passo 3
Expanda o numerador em série de Taylor até segunda ordem em
:
portanto
Chame esse numerador de
; então
Passo 4
O denominador é
Logo a razão fica
Quando
, o numerador tende a
e o denominador tende a
, de modo que
Passo 5
Como essa expansão vale para qualquer forma de
(isto é, para qualquer caminho dentro do domínio), concluímos que o valor do limite é sempre o mesmo, independentemente do caminho escolhido.
Resposta
O limite existe e vale