Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = lim(x,y)to(0,2) e^x+y-2+1-yx,y
Observe que, ao chegar em (0,2), o numerador l(e^0+2-2+1-2r)=0 e o denominador 0cdot2=0, gerando forma indeterminada tfrac00. Vamos ver se esse limite é independente da direção de aproximação (isto é, se é o mesmo por todos os caminhos) ou se dá valores diferentes dependendo do caminho.

Passo 2

Mude de variável para simplificar a expansão em torno de (0,2). Defina
u = x, v = y-2,
de modo que (x,y)to(0,2) equivale a (u,v)to(0,0). Escreva a função em termos de u,v:
e^x+y-2+1-yx,y =e^u+v-1-vu,(2+v)

Passo 3

Expanda o numerador em série de Taylor até segunda ordem em (u,v):
e^u+v =1+(u+v)+tfrac12(u+v)^2+Ol((u+v)^3r),
portanto
e^u+v-1-v =(u+v)-v+tfrac12(u+v)^2+Ol((u+v)^3r) =u+tfrac12(u+v)^2+Ol((u+v)^3r)
Chame esse numerador de N(u,v); então
N(u,v)=ul[1+tfrac12(u+v)+Ol((u+v)^2r)r]

Passo 4

O denominador é
D(u,v)=u,(2+v)
Logo a razão fica
N(u,v)D(u,v) =ul[1+tfrac12(u+v)+O((u+v)^2)r]u(2+v) =1+tfrac12(u+v)+O((u+v)^2)2+v
Quando (u,v)to(0,0), o numerador tende a 1 e o denominador tende a 2, de modo que
N(u,v)D(u,v);longrightarrow;12

Passo 5

Como essa expansão vale para qualquer forma de (u,v)to(0,0) (isto é, para qualquer caminho dentro do domínio), concluímos que o valor do limite é sempre o mesmo, independentemente do caminho escolhido.

Resposta

O limite existe e vale
boxed12

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