Resolva o PVI usando Laplace
y^prime prime+2 y^prime+y=0
y(0)=1
y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 0,
com condições y(0)=1 e y'(0)=1, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar L, usar as fórmulas para derivadas e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos L em cada termo de y'' + 2y' + y:
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly' = s,Y(s) - y(0), Ly = Y(s)
Substituindo na equação e usando y(0)=1, y'(0)=1, vem
(s^2Y(s) - s - 1) ; + ; 2,(sY(s) - 1) ; + ; Y(s) ;=; 0

Passo 3

Agrupando Y(s) e os demais termos, obtemos
(s^2 + 2s + 1),Y(s) ;-;(s + 3) ;=; 0 Longrightarrow Y(s) = s+3(s+1)^2
Fazendo frações parciais, escrevemos
s+3(s+1)^2 = 1s+1 ;+; 2(s+1)^2

Passo 4

Invertendo a transformada de Laplace, usamos
L^-1!tfrac1s+1 = e^-t, L^-1!tfrac1(s+1)^2 = t,e^-t
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y(t) = e^-t + 2,t,e^-t = (1 + 2t),e^-t

Resposta

y(t) = (1 + 2t),e^-t

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