Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=cos (x) em x=0

Passo 1

Temos a função f(x)=cos(x) e queremos a derivada em x=0. O conteúdo principal aqui é derivação de funções trigonométricas usando a definição de derivada e limites notáveis, em especial limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

Pela definição de derivada, escrevemos
f'(x)=limhto0cos(x+h)-cos(x)h

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica cos(x+h)=cos xcos h-sin xsin h dentro do limite e separamos termos:
f'(x)=limhto0cos xcos h-sin xsin h-cos xh =cos xlimhto0cos h-1h-sin xlimhto0sin hh

Passo 4

Substituindo os limites notáveis, temos
f'(x)=cos xcdot0-sin xcdot1=-sin x

Passo 5

Para obter a derivada em x=0, basta avaliar:
f'(0)=-sin(0)=0

Resposta

f’(0)=0

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