(1,0 ponto) Mostre, utilizando a definição de derivadas, que: se y=cos x então d yd x=-sen x.

Passo 1

O exercício pede para mostrar, usando a definição de derivada, que se y = cos x então dy/dx = – sen x; o conteúdo envolve a definição de derivada como limite da diferença quociente e uma identidade trigonométrica para cos(a)–cos(b).

Passo 2

A definição de derivada de uma função f em x é dado por:
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h

Passo 3

Aplicando essa definição a f(x) = cos x, temos:
dydx = limh to 0 cos(x+h) - cos xh

Passo 4

Para simplificar o numerador, usamos a identidade trigonométrica
cos(a)-cos(b) = -2,sinl(tfraca+b2r),sinl(tfraca-b2r)
Substituindo a = x+h e b = x, vem:
cos(x+h) - cos x = -2,sinl(x + tfrach2r),sinl(tfrach2r)

Passo 5

Portanto o quociente fica
cos(x+h) - cos xh = -2,sinl(x + tfrach2r),sin(tfrach2)h
Escrevendo sin(tfrach2)h = sin(tfrach2)tfrach2cdottfrac12 e sabendo que limuto0sin uu=1, temos
dydx = limhto0 l[-2,sinl(x + tfrach2r)cdot 12cdot sin(tfrach2)tfrach2r] = -limhto0 sinl(x + tfrach2r)cdot1

Passo 6

Como limhto0sin(x+tfrach2)=sin x, concluímos que a derivada é dydx = -sin x.

Resposta

dydx = -sin x

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