(1,0 ponto) Mostre, utilizando a definição de derivadas, que: se
então
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar, usando a definição de derivada, que se y = cos x então dy/dx = – sen x; o conteúdo envolve a definição de derivada como limite da diferença quociente e uma identidade trigonométrica para cos(a)–cos(b).
Passo 2
A definição de derivada de uma função f em x é dado por:
Passo 3
Aplicando essa definição a f(x) = cos x, temos:
Passo 4
Para simplificar o numerador, usamos a identidade trigonométrica
Substituindo a = x+h e b = x, vem:
Passo 5
Portanto o quociente fica
Escrevendo
Passo 6
Como
, concluímos que a derivada é
.