Mostre como encontrar a integral das funções abaixo
f(x)=x e^x de x=0 até x=2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral definida de
f(x)=x e^x
de x=0 até x=2. O conteúdo é integração por partes, pois temos um produto de funções cujo antiderivado direto não é trivial.

Passo 2

A técnica de integração por partes diz que
integral u,dv = u,v - integral v,du
A ideia é escolher u e dv de forma que integral v,du seja mais simples que a original.

Passo 3

Escolhemos
u = x e dv = e^x,dx.
Então
du = dx e v = \int e^x,dx = e^x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes obtemos a primitiva
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x + C
Logo uma antiderivada é F(x)=x e^x − e^x.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando F(x) de 0 a 2:
F(2)=2e^2 - e^2 = e^2,
F(0)=0·e^0 - e^0 = -1

Passo 6

A integral de 0 a 2 vale
F(2) - F(0) = e^2 - (-1) = e^2 + 1

Resposta

e^2 + 1

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