Mostre como encontrar a sua solução da EDO pelo método da transformada de laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades das derivadas na transformação. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. A Transformada de Laplace de uma função $ y(t) $ é representada por $ Y(s) $. Lembrando que:
- $ \mathcal{L}{y’’} = s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $
- $ \mathcal{L}{y’} = s Y(s) - y(0) $
- $ \mathcal{L}{y} = Y(s) $
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Juntando os termos com $ Y(s) $:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 4
Vamos fatorar o denominador para simplificar a fração:
Então, temos:
Podemos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace.
Passo 5
Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)(s - 2) $:
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 6
Para encontrar $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ s $ que simplifiquem a equação.
Primeiro, deixe $ s = 2 $:
Agora, deixe $ s = 1 $:
Passo 7
Com $ A = 2 $ e $ B = -1 $, a expressão para $ Y(s) $ fica:
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $.
Passo 8
Sabemos que:
Aplicando isso à nossa expressão de $ Y(s) $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: