Mostre como encontrar a sua solução da EDO pelo método da transformada de laplace
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' - 3y' + 2y = 0,
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades das derivadas na transformação. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. A Transformada de Laplace de uma função $ y(t) $ é representada por $ Y(s) $. Lembrando que:
  • $ \mathcal{L}{y’’} = s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $
  • $ \mathcal{L}{y’} = s Y(s) - y(0) $
  • $ \mathcal{L}{y} = Y(s) $
Aplicando isso na nossa equação:
y(t)
Substituindo as transformadas:
Y(s)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
s^2 Y(s) - s - 3s Y(s) + 3 + 2Y(s) = 0
Juntando os termos com $ Y(s) $:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 - 3s + 2) Y(s) - s + 3 = 0

Passo 4

Vamos fatorar o denominador para simplificar a fração:
s^2 - 3s + 2 = (s - 1)(s - 2)
Então, temos:
Y(s) = s - 3(s - 1)(s - 2)
Podemos decompor essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace.

Passo 5

Vamos escrever:
s - 3(s - 1)(s - 2) = As - 1 + Bs - 2
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)(s - 2) $:
(s - 1)(s - 2)
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 6

Para encontrar $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ s $ que simplifiquem a equação.
Primeiro, deixe $ s = 2 $:
A
Agora, deixe $ s = 1 $:
B

Passo 7

Com $ A = 2 $ e $ B = -1 $, a expressão para $ Y(s) $ fica:
A = 2
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $.

Passo 8

Sabemos que:
L^-11s - a = e^a t
Aplicando isso à nossa expressão de $ Y(s) $:
Y(s)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2 e^t - e^2 t

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