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Instruções:
  1. Resolva as questões mostrando todos os cálculos, isso garante sua nota. Respeite o rigor matemático.
  2. Seja organizado e escreva com letra legível.
  3. Use o verso como rascunho.
  4. Rasuras, duas ou mais alternativas marcadas simultaneamente anulam a questão. Não pode usar corretivo.
  5. Assuma como limites fundamentais, sem necessidade de prova, os limites
lim x 0 sen xx=1, lim x 0 1-cos xx=0, lim x +infty(1+1x)^x=e
Definição:
f^prime(x)=d f(x)d x=lim h 0 f(x+h)-f(x)h, pi=3,1415 (x^n)^prime=n x^n-1 (sen(a x))^prime=a cos (x) (e^a x)^prime=a e^x (ln (x))^prime=1x integral x^n d x=x^n+1n+1+C integral sen(x) d x=-cos (x)+C integral e^a x d x=e^a xa+C integral 1x d x=ln (x)+C integral e^a x cos (b x) d x=e^a x(a cos (b x)+b sen(b x))a^2+b^2+C integral x e^a x d x=e^a x(a x-1)a^2+C integral e^a x cos (b x) d x=e^a x(a sen(b x)-b cos (b x))a^2+b^2+C
Mostre como encontrar a sua solução da EDO pelo método da transformada de laplace
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com condições iniciais usando transformada de Laplace. O conteúdo envolve aplicarmos a definição Y(s)=Ly(t) e usar as fórmulas de transformada de derivadas, além de métodos de frações parciais e tabelas de Laplace.

Passo 2

Começamos aplicando a transformada de Laplace em cada termo de y''-3y'+2y=0. Usando as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, temos:
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
Ly=Y(s)

Passo 3

Substituindo na EDO transformada obtemos:
l(s^2Y(s)-sr)-3l(sY(s)-1r)+2Y(s)=0
Agrupando termos de Y(s) e constantes:
Y(s)(s^2-3s+2)-s+3=0
Logo,
Y(s)(s^2-3s+2)=s-3

Passo 4

Fatoramos o polinômio do denominador: s^2-3s+2=(s-1)(s-2). Assim,
Y(s)=s-3(s-1)(s-2)

Passo 5

Fazemos frações parciais.
Procuramos constantes A e B tais que
s-3(s-1)(s-2)=As-1+Bs-2
Isso implica
A(s-2)+B(s-1)=s-3
Comparando coeficientes:
A+B=1,
-2A -B=-3
Resolvendo, obtemos A=2 e B=-1. Assim,
Y(s)=2s-1-1s-2

Passo 6

Aplicamos agora a transformada inversa usando tabelas de Laplace:
L^-1tfrac2s-1=2e^t,
L^-1tfrac1s-2=e^2t
Portanto,
y(t)=2e^t-e^2t

Passo 7

Verificamos rapidamente as condições iniciais:
y(0)=2-1=1 e y'(t)=2e^t-2e^2t y'(0)=2-2=0, consistentes com o enunciado.

Resposta

y(t)=2e^t-e^2t

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