Nome:
NOTA:
Data:
Instruções:
- Resolva as questões mostrando todos os cálculos, isso garante sua nota. Respeite o rigor matemático.
- Seja organizado e escreva com letra legível.
- Use o verso como rascunho.
- Rasuras, duas ou mais alternativas marcadas simultaneamente anulam a questão. Não pode usar corretivo.
- Assuma como limites fundamentais, sem necessidade de prova, os limites
Definição:
Mostre como encontrar a sua solução da EDO pelo método da transformada de laplace
NOTA:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com condições iniciais usando transformada de Laplace. O conteúdo envolve aplicarmos a definição
e usar as fórmulas de transformada de derivadas, além de métodos de frações parciais e tabelas de Laplace.
Passo 2
Começamos aplicando a transformada de Laplace em cada termo de
. Usando as condições iniciais
e
, temos:
Passo 3
Substituindo na EDO transformada obtemos:
Agrupando termos de
Logo,
Passo 4
Fatoramos o polinômio do denominador:
. Assim,
Passo 5
Fazemos frações parciais.
Procuramos constantes e
tais que
Procuramos constantes
Isso implica
Comparando coeficientes:
Resolvendo, obtemos
Passo 6
Aplicamos agora a transformada inversa usando tabelas de Laplace:
Portanto,
Passo 7
Verificamos rapidamente as condições iniciais:
e
dá
, consistentes com o enunciado.