Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais separáveis
Passo 1
O exercício dá a equação diferencial
, que é do tipo separável. Isso significa que dá para escrever os termos com
e
de um lado e os termos com
e
do outro, e então integrar.
Passo 2
Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por
e por
. Assim obtemos
Aqui colocamos todos os
com
no lado esquerdo e todos os
com
no direito.
Passo 3
Agora integramos os dois lados:
No lado esquerdo temos
e no direito
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Juntando os resultados das integrais, a solução implícita fica
Em geral essa relação já é aceita como a solução geral. Se quiser, podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar o aspecto:
, com
.
Passo 5
Para obter
de forma explícita em função de
seria preciso resolver a equação cúbica
, o que envolve a fórmula de Cardano. Normalmente deixamos a solução na forma implícita acima, que já caracteriza a família de curvas solução.
Resposta
A solução geral, de modo implícito, é