Mostre como encontrar a solução geral das equações diferenciais separáveis

Passo 1

O exercício dá a equação diferencial dydx=x^21+y^2, que é do tipo separável. Isso significa que dá para escrever os termos com y e dy de um lado e os termos com x e dx do outro, e então integrar.

Passo 2

Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por 1+y^2 e por dx. Assim obtemos
(1+y^2),dy = x^2,dx
Aqui colocamos todos os y com dy no lado esquerdo e todos os x com dx no direito.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral(1+y^2),dy = integral x^2,dx
No lado esquerdo temos
integral1,dy + integral y^2,dy = y + y^33
e no direito
integral x^2,dx = x^33 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Juntando os resultados das integrais, a solução implícita fica
y + y^33 = x^33 + C
Em geral essa relação já é aceita como a solução geral. Se quiser, podemos multiplicar tudo por 3 para simplificar o aspecto: 3y + y^3 = x^3 + C', com C'=3C.

Passo 5

Para obter y de forma explícita em função de x seria preciso resolver a equação cúbica y^3 + 3y - (x^3 + C')=0, o que envolve a fórmula de Cardano. Normalmente deixamos a solução na forma implícita acima, que já caracteriza a família de curvas solução.

Resposta

A solução geral, de modo implícito, é
y + y^33 = x^33 + C onde C é a constante de integração.

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