Mostre que a energia relativística de repouso E=m c^{2} pode ser escrita em termos de uma expressão invariante E=P_{\mu} U^{\mu}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a energia de repouso
E = m\,c^2
pode ser escrita como o escalar invariante
E = P_{\mu}\,U^{\mu},
onde P^{\mu} é o quadrivetor momento e U^{\mu} é o quadrivetor velocidade.

Passo 2

Definimos o quadrivetor velocidade como
U^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}
com d\tau o tempo próprio. Em métrica de assinatura (+,-,-,-) vale a normalização
U_{\mu}\,U^{\mu} = c^2.

Passo 3

O quadrivetor momento de uma partícula de massa m é
P^{\mu} = m\,U^{\mu}.

Passo 4

O escalar invariante entre P^{\mu} e U^{\mu} é
P_{\mu}\,U^{\mu} = g_{\mu\nu}\,P^{\mu}\,U^{\nu} = m\,g_{\mu\nu}\,U^{\mu}\,U^{\nu} = m\,U_{\mu}\,U^{\mu}.

Passo 5

Usando U_{\mu}\,U^{\mu} = c^2 obtemos
P_{\mu}\,U^{\mu} = m\,c^2,
que é justamente a energia de repouso.

Resposta

E = P_{\mu}\,U^{\mu} = m\,c^2.

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