Mostre que se lambda in R e z in C, então as igualdades abaixo são verdadeiras:
(1) Re(lambda z)=lambda Re z
(2) Im(lambda z)=lambda Im z
Reciprocamente, prove as afirmações abaixo:
(1) Se Re(z w)=Re(z) Re(w) então pelo menos um dos números z ou w é real.
(2) Se Im(z w)=Re(z) Im(w) então z in R ou w=i lambda, para algum lambda in R.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que para todo lambdainR e todo zinC vale
Re(lambda z)=lambda,Re(z), Im(lambda z)=lambda,Im(z)
Isso usa apenas a definição de parte real e parte imaginária. Em seguida, no sentido recíproco, precisamos provar duas afirmações sobre z,winC:
(1) Se Re(z,w)=Re(z),Re(w) então z ou w é real.
(2) Se Im(z,w)=Re(z),Im(w) então z é real ou w=ilambda para algum lambdainR.
Para tudo isso, vamos escrever
z=x+iy, w=u+iv, x,y,u,vinR,
e usar as fórmulas
z,w=(xu-yv)+i(xv+yu),
de onde extraímos as partes real e imaginária.

Passo 2

Mostramos que para lambdainR e z=x+iy
lambda z = lambda x + i,lambda y
Por definição Re(lambda z) é o coeficiente real de lambda z, que é lambda x, e Re(z)=x. Logo
Re(lambda z)=lambda x=lambda,Re(z)
Analogamente, a parte imaginária de lambda z é lambda y e Im(z)=y, logo
Im(lambda z)=lambda y=lambda,Im(z)

Passo 3

Suponha Re(z,w)=Re(z),Re(w). Como
Re(z,w)=xu-yv e Re(z),Re(w)=x,u,
a igualdade dada diz
xu - yv = x,u Longrightarrow -yv=0 Longrightarrow y,v=0
Portanto ou y=0 (isto é, z é real) ou v=0 (isto é, w é real). Isso prova o item ( 1) do recíproco.

Passo 4

Suponha Im(z,w)=Re(z),Im(w). Temos
Im(z,w)=xv+yu e Re(z),Im(w)=x,v,
então
xv+yu = x,v Longrightarrow yu=0
Logo ou y=0 (isto é, z é real) ou u=0. Se u=0 então w=0+iv=i,v, com vinR, ou seja w=ilambda. Isso encerra o item ( 2).

Resposta

As igualdades para lambdainR e zinC seguem diretamente da expansão lambda(x+iy)=lambda x+ilambda y.
Reciprocalmente:
(1) Re(z,w)=Re(z),Re(w) implica y,v=0, logo z ou w é real.
(2) Im(z,w)=Re(z),Im(w) implica y,u=0, logo z é real ou w=ilambda.

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