Mostre que se
e
, então as igualdades abaixo são verdadeiras:
(1)
(2)
Reciprocamente, prove as afirmações abaixo:
(1)
então pelo menos um dos números
ou
é real.
(2)
então
ou
, para algum
.
(1)
(2)
(1)
(2)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que para todo
e todo
vale
Isso usa apenas a definição de parte real e parte imaginária. Em seguida, no sentido recíproco, precisamos provar duas afirmações sobre
:
Para tudo isso, vamos escrever
e usar as fórmulas
de onde extraímos as partes real e imaginária.
Passo 2
Mostramos que para
e
Por definição
é o coeficiente real de
, que é
, e
. Logo
Analogamente, a parte imaginária de
é
e
, logo
Passo 3
Suponha
. Como
a igualdade dada diz
Portanto ou
(isto é,
é real) ou
(isto é,
é real). Isso prova o item (
) do recíproco.
Passo 4
Suponha
. Temos
então
Logo ou
(isto é,
é real) ou
. Se
então
, com
, ou seja
. Isso encerra o item (
).
Resposta
As igualdades para
e
seguem diretamente da expansão
.
Reciprocalmente:
Reciprocalmente: