Mostre que se , então a matriz é invertível e sua inversa é .
Use o resultado do exercício anterior para encontrar a inversa da matriz A=[rrcos (theta) & sen(theta) -sen(theta) & cos (theta)], sendo theta um número real arbitrário.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se ad - bc neq 0, então a matriz
A = a & b [6pt] c & d
é invertível (isto é, existe A^-1) e que
A^-1 = 1ad - bcd & -b [3pt] -c & a
Em seguida, usar esse resultado para achar a inversa da matriz
A = cos(theta) & sin(theta) [3pt] -sin(theta) & cos(theta)
Conteúdo: inversão de matrizes 2times2 pelo determinante.]
Passo 2
Para provar que A é invertível vamos construir a candidata
B = 1ad - bcd & -b [3pt] -c & a
e verificar que AB = I e BA = I, onde
I = 1 & 0 [3pt] 0 & 1
]
Passo 3
Calculemos o produto
AB = 1ad - bc a & b [3pt] c & d d & -b [3pt] -c & a = 1ad - bc ad - bc & -ab + ab [3pt] cd - dc & -bc + ad = 1 & 0 [3pt] 0 & 1
De forma análoga verifica-se que BA = I. Portanto B é a inversa de A.]
Passo 4
Concluímos que, sob a condição ad - bc neq 0, a matriz A é invertível e
A^-1 = 1ad - bcd & -b [3pt] -c & a
]
Passo 5
Agora para
A = cos(theta) & sin(theta) [3pt] -sin(theta) & cos(theta)
temos
a = cos(theta), b = sin(theta), c = -sin(theta), d = cos(theta),