1. Mostre que se a d-b c neq 0, então a matriz A=[lla & b c & d] é invertível e sua inversa é A^-1=1a d-b c[rrd & -b -c & a].
  2. Use o resultado do exercício anterior para encontrar a inversa da matriz A= [rrcos (theta) & sen(theta) -sen(theta) & cos (theta)], sendo theta um número real arbitrário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se ad - bc neq 0, então a matriz
A = a & b [6pt] c & d
é invertível (isto é, existe A^-1) e que
A^-1 = 1ad - bcd & -b [3pt] -c & a
Em seguida, usar esse resultado para achar a inversa da matriz
A = cos(theta) & sin(theta) [3pt] -sin(theta) & cos(theta)
Conteúdo: inversão de matrizes 2times2 pelo determinante.]

Passo 2

Para provar que A é invertível vamos construir a candidata
B = 1ad - bcd & -b [3pt] -c & a
e verificar que AB = I e BA = I, onde
I = 1 & 0 [3pt] 0 & 1
]

Passo 3

Calculemos o produto
AB = 1ad - bc a & b [3pt] c & d d & -b [3pt] -c & a = 1ad - bc ad - bc & -ab + ab [3pt] cd - dc & -bc + ad = 1 & 0 [3pt] 0 & 1
De forma análoga verifica-se que BA = I. Portanto B é a inversa de A.]

Passo 4

Concluímos que, sob a condição ad - bc neq 0, a matriz A é invertível e
A^-1 = 1ad - bcd & -b [3pt] -c & a
]

Passo 5

Agora para
A = cos(theta) & sin(theta) [3pt] -sin(theta) & cos(theta)
temos
a = cos(theta), b = sin(theta), c = -sin(theta), d = cos(theta),
logo o determinante é
ad - bc = cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 neq 0
Pelo resultado anterior,
A^-1 = 11 cos(theta) & -,sin(theta) [3pt] sin(theta) & cos(theta) = cos(theta) & -sin(theta) [3pt] sin(theta) & cos(theta)
]

Resposta

27. Se ad - bc neq 0, então
A^-1 = 1ad - bcd & -b [3pt] -c & a
28. Para
A=cos(theta)&sin(theta)[3pt]-sin(theta)&cos(theta),
A^-1 = cos(theta)&-,sin(theta)[3pt]sin(theta)&cos(theta)
]

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