Mostre que se A in M2(R), então seu polinômio característico é dado por pA(t)=t^2-a1 t+a0, onde a0=det(A) e a1=tr(A).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se , então o polinômio característico de , definido por
é da forma
onde e . Para isso vamos usar a definição de traço e de determinante de uma matriz e expandir explicitamente .

Passo 2

Escrevemos A em termos de seus elementos genéricos:
A = a11 & a12 a21 & a22
Então
tI - A = t & 0 0 & t - a11 & a12 a21 & a22 = t - a11 & -a12 -,a21 & t - a22

Passo 3

Agora calculamos o determinante de tI - A. Para uma matriz 2times2 vale
det alpha & beta gamma & de<a =alpha,de<a-beta,gamma
Aplicando com alpha=t-a11, beta=-a12, gamma=-a21, de<a=t-a22, obtemos
det(tI - A) =(t - a11)(t - a22) -(-a12)(-a21) = t^2 - (a11+a22),t + l(a11a22-a12a21r)

Passo 4

Reconhecemos que, por definição,
Então o polinômio característico fica

Resposta

com e .

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