Seja T um operador linear com autovalores 0,1,2 e 3. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA.
(A) 5,6,9 e 14 são autovalores de 5 I+T^2.
(B) T é inversível e 0,1, 12 e 13 são autovalores de T^-1.
(C) 0,1,4 e 9 são autovalores de T^2.
(D) 0,1,8 e 27 são autovalores de T^3.
(E) 0,3,6 e 9 são autovalores de 3 T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear T que tem os autovalores 0, 1, 2 e 3 . O conteúdo em jogo aqui são autovalores de operadores lineares. Para resolver, precisamos entender como os autovalores mudam quando aplicamos funções ou operações sobre o operador T .

Passo 2

Vamos analisar cada alternativa para ver qual delas está errada. Lembre-se: estamos procurando a afirmação FALSA.

Passo 3

Alternativa (A): 5I + T^2
Para encontrar os autovalores de 5I + T^2 , usamos a propriedade de que se lambda é um autovalor de T , então 5 + lambda^2 será um autovalor de 5I + T^2 .
Calculando:
  • 5 + 0^2 = 5
  • 5 + 1^2 = 6
  • 5 + 2^2 = 9
  • 5 + 3^2 = 14
Então, os autovalores são 5, 6, 9 e 14 . A alternativa (A) está CORRETA.

Passo 4

Alternativa (B): T é inversível e os autovalores de T^-1 são 0, 1, 12 e 13 .
Primeiro, para T ser inversível, ele não pode ter o autovalor 0 . Como T tem 0 como autovalor, T não é inversível. Além disso, os autovalores de T^-1 seriam 1lambda para cada lambda diferente de zero. Então, 0 não pode ser um autovalor de T^-1 .
Portanto, a alternativa (B) está FALSA.

Passo 5

Alternativa (C): T^2
Os autovalores de T^2 são lambda^2 , onde lambda são os autovalores de T .
Calculando:
  • 0^2 = 0
  • 1^2 = 1
  • 2^2 = 4
  • 3^2 = 9
Então, os autovalores são 0, 1, 4 e 9 . A alternativa (C) está CORRETA.

Passo 6

Alternativa (D): T^3
Os autovalores de T^3 são lambda^3 , onde lambda são os autovalores de T .
Calculando:
  • 0^3 = 0
  • 1^3 = 1
  • 2^3 = 8
  • 3^3 = 27
Então, os autovalores são 0, 1, 8 e 27 . A alternativa (D) está CORRETA.

Passo 7

Alternativa (E): 3T
Os autovalores de 3T são 3lambda , onde lambda são os autovalores de T .
Calculando:
  • 3 times 0 = 0
  • 3 times 1 = 3
  • 3 times 2 = 6
  • 3 times 3 = 9
Então, os autovalores são 0, 3, 6 e 9 . A alternativa (E) está CORRETA.

Resposta

A alternativa (B) é a afirmação FALSA.

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