Seja
um operador linear com autovalores
e
. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA.
(A)
e 14 são autovalores de
.
(B)
é inversível e
e
são autovalores de
.
(C)
e 9 são autovalores de
.
(D)
e 27 são autovalores de
.
(E)
e 9 são autovalores de
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear
que tem os autovalores
e
. O conteúdo em jogo aqui são autovalores de operadores lineares. Para resolver, precisamos entender como os autovalores mudam quando aplicamos funções ou operações sobre o operador
.
Passo 2
Vamos analisar cada alternativa para ver qual delas está errada. Lembre-se: estamos procurando a afirmação FALSA.
Passo 3
Alternativa (A):
Para encontrar os autovalores de
, usamos a propriedade de que se
é um autovalor de
, então
será um autovalor de
.
Calculando:
Então, os autovalores são
e
. A alternativa (A) está CORRETA.
Passo 4
Alternativa (B):
é inversível e os autovalores de
são
e
.
Primeiro, para
ser inversível, ele não pode ter o autovalor
. Como
tem
como autovalor,
não é inversível. Além disso, os autovalores de
seriam
para cada
diferente de zero. Então,
não pode ser um autovalor de
.
Portanto, a alternativa (B) está FALSA.
Passo 5
Alternativa (C):
Os autovalores de
são
, onde
são os autovalores de
.
Calculando:
Então, os autovalores são
e
. A alternativa (C) está CORRETA.
Passo 6
Alternativa (D):
Os autovalores de
são
, onde
são os autovalores de
.
Calculando:
Então, os autovalores são
e
. A alternativa (D) está CORRETA.
Passo 7
Alternativa (E):
Os autovalores de
são
, onde
são os autovalores de
.
Calculando:
Então, os autovalores são
e
. A alternativa (E) está CORRETA.
Resposta
A alternativa (B) é a afirmação FALSA.