Seja
um operador linear tal que todo vetor não nulo é um autovetor de
. Escreva, então,
, em que
, para
, e
denota a base canônica de
.
(i) Calcule
.
(ii) Mostre que
.
(iii) Prove que existe um número
de modo que o polinômio característico de
seja
.
(iv) Conclua que
, onde
denota o operador identidade de
.
(i) Calcule
(ii) Mostre que
(iii) Prove que existe um número
(iv) Conclua que
Passo 1
O enunciado diz que
é linear e que todo vetor não nulo é autovetor de
. Em particular, na base canônica temos
Passo 2
Para responder a (i), aplicamos a linearidade de
em
:
Passo 3
Como todo vetor não nulo é autovetor, existe
tal que
Comparando com o resultado do passo anterior, obtemos
Passo 4
Seja
. A matriz de
na base canônica é
, logo
e o polinômio característico
é
Passo 5
Como
, temos
para
. Por linearidade,
para todo
, isto é,
Resposta
(i)
(ii)
(iii) com
(iv)
(ii)
(iii)
(iv)