Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que todo vetor não nulo é um autovetor de T. Escreva, então, T(ei)=alphai ei, em que alphai in R, para i=1,2,3, e e1, e2, e3 denota a base canônica de R^3.
(i) Calcule T(e1+e2+e3).
(ii) Mostre que alpha1=alpha2=alpha3.
(iii) Prove que existe um número alpha in R de modo que o polinômio característico de T seja pT(t)=-(t-alpha)^3.
(iv) Conclua que T=alpha I, onde I denota o operador identidade de R^3.

Passo 1

O enunciado diz que T:R^3toR^3 é linear e que todo vetor não nulo é autovetor de T. Em particular, na base canônica temos
T(ei)=alphai ei, alphaiinR,;i=1,2,3

Passo 2

Para responder a (i), aplicamos a linearidade de T em e1+e2+e3:
T(e1+e2+e3) = T(e1)+T(e2)+T(e3) = alpha1 e1+alpha2 e2+alpha3 e3

Passo 3

Como todo vetor não nulo é autovetor, existe lambdainR tal que
T(e1+e2+e3)=lambda,(e1+e2+e3) =lambda e1+lambda e2+lambda e3
Comparando com o resultado do passo anterior, obtemos
alpha1=lambda=alpha2=alpha3

Passo 4

Seja alpha=alpha1=alpha2=alpha3. A matriz de T na base canônica é diag(alpha,alpha,alpha), logo
T-tI=diag(alpha-t,alpha-t,alpha-t),
e o polinômio característico pT(t)=det(T-tI) é
pT(t)=(alpha-t)^3 =(-1)^3(t-alpha)^3 =-(t-alpha)^3

Passo 5

Como alpha1=alpha2=alpha3=alpha, temos T(ei)=alpha ei para i=1,2,3. Por linearidade, T(v)=alpha v para todo vinR^3, isto é,
T=alpha I

Resposta

(i) T(e1+e2+e3)=alpha1 e1+alpha2 e2+alpha3 e3
(ii) alpha1=alpha2=alpha3
(iii) pT(t)=-(t-alpha)^3, com alpha=alpha1
(iv) T=alpha I

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