Seja A in Mn(R), onde n >= 2. Assuma que a soma dos elementos de qualquer linha de A seja igual a 1. Assinale a alternativa correta.
(A) A pode não possuir autovalores reais.
(B) 1 e 0 são necessariamente autovalores de A.
(C) A possui algum autovalor real, mas pode ser que nem 1 nem 0 sejam autovalores de A.
(D) 1 é necessariamente autovalor de A, mas 0 pode não ser.
(E) 0 é necessariamente autovalor de A, mas 1 pode não ser.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá dizendo. Temos uma matriz quadrada A de ordem n (onde n >= 2 ) com números reais. A característica especial dessa matriz é que a soma dos elementos de qualquer uma de suas linhas é igual a 1. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das alternativas propostas está correta sobre os autovalores (ou valores próprios) dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores. Um autovalor lambda de uma matriz A é um número tal que existe um vetor não nulo v (autovetor) para o qual A v = lambda v . Além disso, vamos usar o fato de que alguma propriedade específica das matrizes (como a soma das linhas igual a 1) pode nos dar pistas sobre seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor 1 = (1, 1, dots, 1)^T é um vetor muito útil aqui. Se somarmos qualquer linha de A multiplicada por 1 , como no cálculo de A 1 , cada elemento da multiplicação de uma linha por 1 será a soma dos elementos dessa linha.
No nosso caso, como a soma de cada linha é 1, temos:
A 1 = 1
Isso significa que 1 é um autovetor de A correspondente ao autovalor lambda = 1 . Portanto, 1 é definitivamente um autovalor de A .

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre o valor 0. Sabemos que para uma matriz ter 0 como autovalor, ela deve ser singular, ou seja, seu determinante deve ser zero. No entanto, apenas porque uma matriz tem 1 como autovalor, não necessariamente implica que ela também tem 0 como autovalor.
Por exemplo, considere uma matriz identidade I , onde cada elemento da diagonal principal é 1 e os demais são 0. Aqui, todos os autovalores são 1, e 0 não é um autovalor. Além disso, a soma das linhas de I é 1, então ela satisfaz a condição do problema.

Passo 4

Vamos agora analisar as alternativas:
  • Alternativa A: Diz que A pode não possuir autovalores reais. Já sabemos que 1 é um autovalor real de A , então essa alternativa está errada.
  • Alternativa B: Afirma que 1 e 0 são necessariamente autovalores de A . Sabemos que 1 é sempre um autovalor, mas 0 não é obrigatório, como no exemplo da matriz identidade. Então, essa alternativa também está errada.
  • Alternativa C: Diz que A possui algum autovalor real (o que é verdade, já que 1 é real) e que pode ser que nem 1 nem 0 sejam autovalores. Porém, sabemos que 1 é sempre um autovalor, então essa alternativa está incorreta.
  • Alternativa D: Afirma que 1 é necessariamente um autovalor de A (correto) e que 0 pode não ser (também correto, como no exemplo da matriz identidade). Essa alternativa parece correta.
  • Alternativa E: Diz que 0 é necessariamente um autovalor de A e que 1 pode não ser. Isso é o oposto do que já estabelecemos, então está errada.

Resposta

A alternativa correta é a (D): 1 é necessariamente autovalor de A , mas 0 pode não ser.

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