Seja
, onde
. Assuma que a soma dos elementos de qualquer linha de
seja igual a 1. Assinale a alternativa correta.
(A)
pode não possuir autovalores reais.
(B) 1 e 0 são necessariamente autovalores de
.
(C)
possui algum autovalor real, mas pode ser que nem 1 nem 0 sejam autovalores de
.
(D) 1 é necessariamente autovalor de
, mas 0 pode não ser.
(E) 0 é necessariamente autovalor de
, mas 1 pode não ser.
(A)
(B) 1 e 0 são necessariamente autovalores de
(C)
(D) 1 é necessariamente autovalor de
(E) 0 é necessariamente autovalor de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá dizendo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
(onde
) com números reais. A característica especial dessa matriz é que a soma dos elementos de qualquer uma de suas linhas é igual a 1. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das alternativas propostas está correta sobre os autovalores (ou valores próprios) dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores. Um autovalor
de uma matriz
é um número tal que existe um vetor não nulo
(autovetor) para o qual
. Além disso, vamos usar o fato de que alguma propriedade específica das matrizes (como a soma das linhas igual a 1) pode nos dar pistas sobre seus autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor
é um vetor muito útil aqui. Se somarmos qualquer linha de
multiplicada por
, como no cálculo de
, cada elemento da multiplicação de uma linha por
será a soma dos elementos dessa linha.
No nosso caso, como a soma de cada linha é 1, temos:
Isso significa que
é um autovetor de
correspondente ao autovalor
. Portanto, 1 é definitivamente um autovalor de
.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre o valor 0. Sabemos que para uma matriz ter 0 como autovalor, ela deve ser singular, ou seja, seu determinante deve ser zero. No entanto, apenas porque uma matriz tem 1 como autovalor, não necessariamente implica que ela também tem 0 como autovalor.
Por exemplo, considere uma matriz identidade
, onde cada elemento da diagonal principal é 1 e os demais são 0. Aqui, todos os autovalores são 1, e 0 não é um autovalor. Além disso, a soma das linhas de
é 1, então ela satisfaz a condição do problema.
Passo 4
Vamos agora analisar as alternativas:
-
Alternativa A: Diz que
pode não possuir autovalores reais. Já sabemos que 1 é um autovalor real de , então essa alternativa está errada. -
Alternativa B: Afirma que 1 e 0 são necessariamente autovalores de
. Sabemos que 1 é sempre um autovalor, mas 0 não é obrigatório, como no exemplo da matriz identidade. Então, essa alternativa também está errada. -
Alternativa C: Diz que
possui algum autovalor real (o que é verdade, já que 1 é real) e que pode ser que nem 1 nem 0 sejam autovalores. Porém, sabemos que 1 é sempre um autovalor, então essa alternativa está incorreta. -
Alternativa D: Afirma que 1 é necessariamente um autovalor de
(correto) e que 0 pode não ser (também correto, como no exemplo da matriz identidade). Essa alternativa parece correta. -
Alternativa E: Diz que 0 é necessariamente um autovalor de
e que 1 pode não ser. Isso é o oposto do que já estabelecemos, então está errada.
Resposta
A alternativa correta é a (D): 1 é necessariamente autovalor de
, mas 0 pode não ser.