Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por T(x, y, z)=(3 x+y+z, y, x+2 y+3 z), para todo (x, y, z) in R^3. A soma dos autovalores de T é igual a
(A) 6
(B) 7
(C) 5
(D) 2
(E) 3

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (3x + y + z,;y,;x + 2y + 3z)
e pede a soma dos autovalores de T. Vamos usar que, em dimensão finita, a soma dos autovalores (contando multiplicidades) de um operador linear é igual ao traço da sua matriz na base canônica.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, com e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1), cada coluna de A é T(ei). Assim,
A = 3 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3

Passo 3

Pela propriedade do traço, a soma dos autovalores lambda1+lambda2+lambda3 de A é
lambda1 + lambda2 + lambda3 = tr(A)

Passo 4

Calculamos o traço de A somando seus elementos da diagonal principal:
tr(A) = 3 + 1 + 3 = 7

Resposta

(B) 7

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