Mostre que a equação associada de Legendre: x=cos theta pode ser escrita como usando a subsituição .

Passo 1

Nesse exercício a gente vai mostrar como a equação associada de Legendre escrita em termos de theta pode ser reescrita em termos da variável x=costheta. O conteúdo principal é mudança de variável e aplicação da regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, relacionamos as derivadas em theta com derivadas em x. Como x=costheta, temos dxdtheta=-sintheta. Logo, pela regra da cadeia:
ddtheta=dxdthetaddx=-sinthetaddx

Passo 3

Agora precisamos da segunda derivada em theta. Aplicando novamente a regra da cadeia em ddtheta(-sinthetaddx), obtemos:
d^2dtheta^2P=ddthetal(-sinthetadPdxr) =-costhetadPdx+sin^2thetad^2Pdx^2 =sin^2thetad^2Pdx^2-xdPdx,
onde usamos costheta=x.

Passo 4

No termo 1sinthetaddtheta(sinthetaddthetaP), primeiro calculamos sinthetaddthetaP=-sin^2thetadPdx. Depois:
1sinthetaddthetal(-sin^2thetadPdxr) =1sinthetal(-2sinthetacosthetadPdx+sin^3thetad^2Pdx^2r) =sin^2thetad^2Pdx^2-2xdPdx

Passo 5

Substituindo esse resultado na equação original e lembrando que sin^2theta=1-x^2, a EDO fica:
que é exatamente a forma desejada em (1-x^2)d^2Pdx^2-2xdPdx)+l[n(n+1)-m^21-x^2r]P=0, .

Resposta

A equação em x=costheta é:
(1-x^2)d^2dx^2Pn^m(x)-2xddxPn^m(x)+l[n(n+1)-m^21-x^2r]Pn^m(x)=0

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