Mostre que a equação associada de Legendre:
pode ser escrita como
usando a subsituição
.
Passo 1
Nesse exercício a gente vai mostrar como a equação associada de Legendre escrita em termos de
pode ser reescrita em termos da variável
. O conteúdo principal é mudança de variável e aplicação da regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, relacionamos as derivadas em
com derivadas em
. Como
, temos
. Logo, pela regra da cadeia:
Passo 3
Agora precisamos da segunda derivada em
. Aplicando novamente a regra da cadeia em
, obtemos:
onde usamos
.
Passo 4
No termo
, primeiro calculamos
. Depois:
Passo 5
Substituindo esse resultado na equação original e lembrando que
, a EDO fica:
que é exatamente a forma desejada em
.
Resposta
A equação em
é: