Seja P o paralelogramo do plano com vértices nos pontos A=(x0, y0), B=(x1, y1) e C=(x2, y2). Prove que
Area P=|det(lll x0 & y0 & 1 x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1 )|
Conclua que se ell é a reta determinada por A e B então C in ell se e somente se det(lllx0 & y0 & 1 x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1)=0.

Passo 1

O enunciado define o paralelogramo P cujos vértices são
A=(x0,y0), B=(x1,y1), C=(x2,y2),
e pede para mostrar que
Area,P =l|det x0&y0&1 x1&y1&1 x2&y2&1 r|
O conteúdo é geometria vetorial: a área de um paralelogramo gerado por dois vetores é o valor absoluto do determinante 2times 2 desses vetores. Vamos usar isso e depois relacionar com o determinante 3times 3 dado.

Passo 2

Escolhemos como vetores geradores do paralelogramo
AB=(x1-x0,,y1-y0), AC=(x2-x0,,y2-y0)
Pela fórmula clássica da área em termos de determinante,
Area,P =l|det x1-x0&y1-y0 x2-x0&y2-y0 r| =l|(x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0)r|

Passo 3

Agora consideremos o determinante
Expandindo pela terceira coluna (regra de Sarrus ou cofactores), temos
Isso dá
Reagrupando termos verifica-se que
ou seja, exatamente o mesmo valor que aparece dentro do valor absoluto da área em .

Passo 4

Concluímos então que
Area,P =l|,(x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0)r| =l|Dr| =l|det x0&y0&1 x1&y1&1 x2&y2&1 r|

Passo 5

Para a colinearidade de A,B,C, note que Cinell(AB) se e somente se o paralelogramo degenerar (área zero). Logo
Cinell Long<=ftrightarrow Area,P=0 Long<=ftrightarrow det x0&y0&1 x1&y1&1 x2&y2&1 =0

Resposta

Area,P =l|det x0&y0&1 x1&y1&1 x2&y2&1 r|,
e Cinell(AB) se e somente se esse determinante for zero.

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