Mostre que a equação dada é a equação de uma esfera, determinando o seu centro e o seu raio:
x^2+y^2+z^2-2 raiz2 z+1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2+z^2-2raiz2,z+1=0
e pede para mostrar que ela representa uma esfera, além de encontrar seu centro e seu raio. Para isso vamos usar completamento de quadrado, que é a técnica clássica de reescrever termos quadráticos e lineares numa soma de quadrados perfeitos.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em z. Note que
z^2-2raiz2,z = l(z-raiz2r)^2 - (raiz2)^2 = l(z-raiz2r)^2 - 2
Substituindo isso na equação original, obtemos
x^2+y^2 + l(z-raiz2r)^2 - 2 + 1 = 0
ou seja
x^2+y^2 + l(z-raiz2r)^2 = 1

Passo 3

A forma
(x-0)^2 + (y-0)^2 + l(z-raiz2r)^2 = 1
é exatamente a equação de uma esfera de centro (0,0,raiz2) e raio 1.

Resposta

Centro: (0,0,raiz2)
Raio: 1

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