Mostre que:
A equação na forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa.

Passo 1

Estamos considerando uma mesma variedade algébrica (ou superfície implícita) SsubseteqR^n definida por duas equações polinomiais em forma canônica
F(x)=0e G(x)=0,,
ou seja
xmid F(x)=0=xmid G(x)=0=S
Como “forma canônica” implica que F e G são polinômios irreduzíveis sem fator comum, vamos usar a propriedade de domínio de fatoração única (UFD) de R[x1,dots,xn].

Passo 2

Da igualdade de conjuntos
F=0=G=0
segue que G(x)=0 sempre que F(x)=0. Em linguagem de anel de polinômios, isto significa que F divide G: existe um polinômio HinR[x1,dots,xn] tal que
G(x)=H(x),F(x)

Passo 3

De modo análogo, como os zeros de G coincidem com os de F, temos que G divide F: existe KinR[x1,dots,xn] com
F(x)=K(x),G(x)

Passo 4

Compondo as duas divisões obtemos
F(x)=K(x),G(x)=K(x),H(x),F(x)
Como F é irreduzível e não é o polinômio zero, podemos simplificar por F, deduzindo
K(x),H(x)=1
no anel R[x1,dots,xn]. Mas os únicos inversíveis em R[x1,dots,xn] são as constantes não nulas. Logo
H(x)=lambdainRsetminus0

Resposta

As duas equações canônicas satisfazem
G(x)=lambda,F(x),
com lambdaneq0 constante. Portanto a forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa.

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