Mostre que:
A equação na forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa.
A equação na forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa.
Passo 1
Estamos considerando uma mesma variedade algébrica (ou superfície implícita)
definida por duas equações polinomiais em forma canônica
ou seja
Como “forma canônica” implica que
e
são polinômios irreduzíveis sem fator comum, vamos usar a propriedade de domínio de fatoração única (UFD) de
.
Passo 2
Da igualdade de conjuntos
segue que
sempre que
. Em linguagem de anel de polinômios, isto significa que
divide
: existe um polinômio
tal que
Passo 3
De modo análogo, como os zeros de
coincidem com os de
, temos que
divide
: existe
com
Passo 4
Compondo as duas divisões obtemos
Como
é irreduzível e não é o polinômio zero, podemos simplificar por
, deduzindo
no anel
. Mas os únicos inversíveis em
são as constantes não nulas. Logo
Resposta
As duas equações canônicas satisfazem
com
constante. Portanto a forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa.