Mostre que quando a equação de Laplace
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0
é escrita em coordenadas cilíndricas, ela se torna
partial^2 upartial r^2+1r partial upartial r+1r^2 partial^2 upartial theta^2+partial^2 upartial z^2=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação de Laplace escrita nas coordenadas cartesianas:
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0
E o objetivo é mostrar que, ao converter essa equação para coordenadas cilíndricas, ela fica assim:
partial^2 upartial r^2+1r partial upartial r+1r^2 partial^2 upartial theta^2+partial^2 upartial z^2=0
Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas cartesianas se relacionam com as coordenadas cilíndricas e como converter as derivadas parciais entre esses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilíndricas (r, theta, z). As relações são:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
Aqui, r é a distância do ponto à origem no plano xy, theta é o ângulo em relação ao eixo x positivo, e z permanece o mesmo.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas parciais em termos das coordenadas cilíndricas. Para isso, usamos a regra da cadeia. As derivadas parciais de u em relação a x, y e z podem ser escritas em termos de r, theta e z da seguinte maneira:
partial upartial x = partial upartial r partial rpartial x + partial upartial theta partial thetapartial x + partial upartial z partial zpartial x
Similarmente para partial upartial y e partial upartial z. Calculando as derivadas parciais dos coordenadas:
partial rpartial x = xr = cos theta partial thetapartial x = -yr^2 = -sin thetar partial zpartial x = 0
E para partial rpartial y e partial thetapartial y:
partial rpartial y = yr = sin theta partial thetapartial y = xr^2 = cos thetar partial zpartial y = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas segundas necessárias para a equação de Laplace. Primeiro, calculamos partial^2 upartial x^2 e partial^2 upartial y^2, usando as expressões das derivadas parciais que obtivemos.
Após fazer os cálculos (que envolvem aplicar a regra do produto e simplificar termos), acabamos com:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = partial^2 upartial r^2 + 1r partial upartial r + 1r^2 partial^2 upartial theta^2
A derivada em relação a z permanece a mesma, já que as coordenadas cilíndricas não afetam essa direção.

Passo 5

Finalmente, substituímos tudo de volta na equação de Laplace original em coordenadas cartesianas:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = 0
Usando a expressão que obtivemos para as derivadas em x e y, temos:
( partial^2 upartial r^2 + 1r partial upartial r + 1r^2 partial^2 upartial theta^2 ) + partial^2 upartial z^2 = 0
Simplificando, chegamos à equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
partial^2 upartial r^2+1r partial upartial r+1r^2 partial^2 upartial theta^2+partial^2 upartial z^2=0

Resposta

A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas é:
partial^2 upartial r^2+1r partial upartial r+1r^2 partial^2 upartial theta^2+partial^2 upartial z^2=0

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