Mostre que quando a equação de Laplace
é escrita em coordenadas cilíndricas, ela se torna
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação de Laplace escrita nas coordenadas cartesianas:
E o objetivo é mostrar que, ao converter essa equação para coordenadas cilíndricas, ela fica assim:
Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas cartesianas se relacionam com as coordenadas cilíndricas e como converter as derivadas parciais entre esses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas
para coordenadas cilíndricas
. As relações são:
Aqui,
é a distância do ponto à origem no plano
,
é o ângulo em relação ao eixo
positivo, e
permanece o mesmo.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas parciais em termos das coordenadas cilíndricas. Para isso, usamos a regra da cadeia. As derivadas parciais de
em relação a
,
e
podem ser escritas em termos de
,
e
da seguinte maneira:
Similarmente para
e
. Calculando as derivadas parciais dos coordenadas:
E para
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas segundas necessárias para a equação de Laplace. Primeiro, calculamos
e
, usando as expressões das derivadas parciais que obtivemos.
Após fazer os cálculos (que envolvem aplicar a regra do produto e simplificar termos), acabamos com:
A derivada em relação a
permanece a mesma, já que as coordenadas cilíndricas não afetam essa direção.
Passo 5
Finalmente, substituímos tudo de volta na equação de Laplace original em coordenadas cartesianas:
Usando a expressão que obtivemos para as derivadas em
e
, temos:
Simplificando, chegamos à equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:
Resposta
A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas é: