Mostre que a equação linear
é equivalente a uma equação separável se
, para
;
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
e pede para mostrar que, se
e
com
, ela é equivalente a uma equação separável. Vamos usar propriedades de EDOs lineares e separação de variáveis.
Passo 2
Substituindo
e
obtemos
Reescrevendo
, fica
Passo 3
Para separar variáveis, isolamos todos os
de um lado e
do outro:
Isso mostra que a equação é separável.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo usamos a substituição
,
, resultando em
onde
C é constante de integração.
Passo 5
Isolando
y :
com
C2 = -C1/a .
Resposta
A equação
y' + a,y = b se escreve como
logo é separável, e sua solução geral é