Mostre que a equação linear y^prime+p(t) y=q(t) é equivalente a uma equação separável se
p(t)=a in q(t)=b, para a, b in R;

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
y' + p(t),y = q(t)
e pede para mostrar que, se p(t)=a e q(t)=b com a,binR, ela é equivalente a uma equação separável. Vamos usar propriedades de EDOs lineares e separação de variáveis.

Passo 2

Substituindo p(t)=a e q(t)=b obtemos
y' + a,y = b
Reescrevendo y'=dydt, fica
dydt = b - a,y

Passo 3

Para separar variáveis, isolamos todos os y de um lado e t do outro:
dyb - a,y = dt
Isso mostra que a equação é separável.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dyb - a,y = integral dt
No lado esquerdo usamos a substituição u = b - a,y, du = -a,dy, resultando em
-1alnl|b - a,yr| = t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y:
lnl|b - a,yr| = -a,t + C',
b - a,y = C1,e^-a,t,
y(t) = b - C1,e^-a,ta = ba + C2,e^-a,t,
com C2 = -C1/a.

Resposta

A equação y' + a,y = b se escreve como
dyb - a,y = dt,
logo é separável, e sua solução geral é
y(t)=ba + C,e^-a,t

Exercícios relacionados