Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por x=cos (3 t), t >= 0, em que x é dado em metros e t em segundos.
Qual a aceleração no instante t?

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x e a posição dela no tempo t é dada por x = cos(3t) . A gente quer descobrir qual é a aceleração dessa partícula em qualquer instante t . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a entender como a posição muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a taxa de variação da sua posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é a primeira derivada da posição x em relação ao tempo t . Então, vamos derivar x = cos(3t) :
v(t) = dxdt = -3 sin(3t)
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar cos(3t) , onde a derivada de cos(u) é -sin(u) multiplicado pela derivada de u .

Passo 3

Agora que temos a velocidade v(t) , queremos achar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Isso é a segunda derivada da posição x ou a primeira derivada da velocidade v(t) . Então, vamos derivar v(t) = -3 sin(3t) :
a(t) = dvdt = -9 cos(3t)
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de sin(u) é cos(u) multiplicado pela derivada de u , que nesse caso é 3, resultando em -9 cos(3t) .

Resposta

A aceleração no instante t é dada por a(t) = -9 cos(3t) metros por segundo ao quadrado.

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