Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por x=cos (3 t), t >= 0, em que x é dado em metros e t em segundos.
Qual a velocidade no instante t?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em qualquer instante t é dada por x = cos(3t). Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade dessa partícula no instante t. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas, que é uma ferramenta da Matemática que nos ajuda a encontrar taxas de variação, como a velocidade aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos x(t), a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = dxdt

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função de posição. Temos:
x(t) = cos(3t)
Para encontrar a derivada disso em relação ao tempo t, precisamos usar a regra da cadeia. A derivada de cos(u) em relação a u é - sin(u), e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a t.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dxdt = ddt [cos(3t)] = -sin(3t) cdot ddt(3t)
Calculando a derivada de 3t em relação a t:
ddt(3t) = 3

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
v(t) = -sin(3t) cdot 3 = -3sin(3t)

Resposta

A velocidade da partícula no instante t é dada por:
v(t) = -3sin(3t) m/s

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