Mostre que a equação x^4-5 x+2=0 tem pelo menos uma solução real no intervalo 0<x<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação
x^4-5x+2=0
tem pelo menos uma solução real no intervalo 0<x<1. Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função contínua em todo R, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^4 - 5x + 2
Sendo f um polinômio, sabemos que f é contínua em [0,1], condição necessária para aplicar o TVI.

Passo 3

Calculamos os valores de f em x=0 e em x=1:
f(0) = 0^4 - 5cdot0 + 2 = 2 > 0,
f(1) = 1^4 - 5cdot1 + 2 = 1 - 5 + 2 = -2 < 0
Portanto, f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal entre a e b, existe algum cin(a,b) tal que f(c)=0. Aqui, como f(0)>0 e f(1)<0, concluímos que existe c em (0,1) com
f(c)=c^4-5c+2=0

Resposta

A equação x^4-5x+2=0 tem pelo menos uma solução real no intervalo 0<x<1 pelo Teorema do Valor Intermediário.

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