Mostre que a equação para a nova função H(\xi) é a equação de Hermite.
\frac{d^{2} H(\xi)}{d \xi^{2}}-2 \xi \frac{d H(\xi)}{d \xi}+(\lambda-1) H(\xi)=0

Passo 1

Resumimos o enunciado: partimos da equação diferencial
\frac{d^2 \psi(\xi)}{d\xi^2} + (\lambda - \xi^2)\,\psi(\xi)=0,
definimos a nova função \psi(\xi)=H(\xi)\,e^{-\xi^2/2} e queremos mostrar que H satisfaz
\frac{d^{2} H}{d \xi^{2}}-2 \xi \frac{d H}{d \xi}+(\lambda-1) H=0.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto e
\frac{d}{d\xi}\bigl(e^{-\xi^2/2}\bigr)=-\xi\,e^{-\xi^2/2}\,:
\frac{d\psi}{d\xi} = \frac{dH}{d\xi}\,e^{-\xi^2/2} + H\bigl(-\xi\,e^{-\xi^2/2}\bigr) = \bigl(H' - \xi H\bigr)\,e^{-\xi^2/2}.

Passo 3

Para a segunda derivada aplicamos produto de novo sobre (H' - \xi H) e lembramos que
\frac{d}{d\xi}(H' - \xi H) = H'' - H - \xi H'\,.
Assim
\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \frac{d}{d\xi}\Bigl[(H' - \xi H)e^{-\xi^2/2}\Bigr] = \bigl(H'' -2\xi H' + (\xi^2-1)\,H\bigr)\,e^{-\xi^2/2}.

Passo 4

Substituímos \psi'',\psi na equação original e dividimos por e^{-\xi^2/2}:
(H'' - 2\xi H' + (\xi^2-1)H) + (\lambda - \xi^2)H = 0.
Os termos \xi^2H cancelam, sobrando
H'' - 2\xi H' + (\lambda-1)H = 0,
que é exatamente a equação de Hermite.

Resposta

\frac{d^{2} H(\xi)}{d \xi^{2}} \;-\;2 \,\xi\,\frac{d H(\xi)}{d \xi}\;+\;(\lambda-1)\,H(\xi)\;=\;0.

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