Mostre que a solução geral do problema assume a forma: \psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{\rho}{2^{n} n!\sqrt{\pi}}} H_{n}(\xi) e^{-\frac{1}{2} \rho^{2} x^{2}}

Passo 1

O enunciado é resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmônico unidimensional, dada por
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\frac12\,m\omega^2x^2\,\psi(x)=E\,\psi(x).
Vamos mostrar que as autofunções normalizadas são
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{\rho}{2^n\,n!\,\sqrt{\pi}}}\;H_n(\xi)\;e^{-\tfrac12\,\rho^2x^2},
onde definimos \xi=\rho\,x e \rho=\sqrt{\tfrac{m\omega}{\hbar}}. Para isso, transformamos a equação em forma adimensional, usamos um ansatz exponencial, aplicamos solução em série e reconhecemos os polinômios de Hermite, terminando com a normalização.

Passo 2

Definindo \xi=\rho\,x com \rho=\sqrt{\tfrac{m\omega}{\hbar}} e dividindo tudo por \hbar\omega, obtemos
\frac{d^2\psi}{d\xi^2}+\bigl(2\epsilon-\xi^2\bigr)\psi=0, \quad \epsilon=\frac{E}{\hbar\omega}.
Para isolar o comportamento gaussiano, fazemos o ansatz
\psi(\xi)=u(\xi)\,e^{-\tfrac12\,\xi^2}.
Substituindo nessa equação, chega-se a
u''(\xi)-2\xi\,u'(\xi)+2\epsilon\,u(\xi)=0,
que é a forma canônica da equação de Hermite quando \epsilon assume certos valores.

Passo 3

Para resolver
u''-2\xi\,u'+2\epsilon\,u=0
tentamos a série de potências
u(\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,\xi^k.
Inserindo na equação e igualando coeficientes, obtém-se a recorrência
a_{k+2}=\frac{2k+1-2\epsilon}{(k+2)(k+1)}\,a_k.
Para que \psi não diverja em |\xi|\to\infty, a série deve terminar, o que exige
2\epsilon=2n+1,\quad n\in\mathbb{N},
isto é E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12), e então u(\xi) é um polinômio de grau n, justamente o polinômio de Hermite H_n(\xi).

Passo 4

Concluímos que as autofunções têm a forma
\psi_n(\xi)=A_n\,H_n(\xi)\,e^{-\tfrac12\,\xi^2},
com constante A_n a determinar. Voltando a x via \xi=\rho x, escrevemos
\psi_n(x)=A_n\,H_n(\rho x)\,e^{-\tfrac12\,\rho^2x^2}.

Passo 5

Para fixar A_n, impomos
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(x)|^2\,dx=1.
Usando
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n(\xi)^2\,d\xi=2^n\,n!\,\sqrt{\pi} \quad\text{e}\quad dx=\frac{d\xi}{\rho},
obtém-se
A_n^2\;\frac{1}{\rho}\;2^n\,n!\,\sqrt{\pi}=1 \quad\Longrightarrow\quad A_n=\sqrt{\frac{\rho}{2^n\,n!\,\sqrt{\pi}}}.

Resposta

\boxed{\psi_n(x)=\sqrt{\frac{\rho}{2^n\,n!\,\sqrt{\pi}}}\;H_n(\rho x)\;e^{-\tfrac12\,\rho^2x^2},\quad \rho=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,.}

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