Mostre que a solução geral do problema assume a forma:
Passo 1
O enunciado é resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmônico unidimensional, dada por
Vamos mostrar que as autofunções normalizadas são
onde definimos
e
. Para isso, transformamos a equação em forma adimensional, usamos um ansatz exponencial, aplicamos solução em série e reconhecemos os polinômios de Hermite, terminando com a normalização.
Passo 2
Definindo
com
e dividindo tudo por
, obtemos
Para isolar o comportamento gaussiano, fazemos o ansatz
Substituindo nessa equação, chega-se a
que é a forma canônica da equação de Hermite quando
assume certos valores.
Passo 3
Para resolver
tentamos a série de potências
Inserindo na equação e igualando coeficientes, obtém-se a recorrência
Para que
não diverja em
, a série deve terminar, o que exige
isto é
, e então
é um polinômio de grau
, justamente o polinômio de Hermite
.
Passo 4
Concluímos que as autofunções têm a forma
com constante
a determinar. Voltando a
via
, escrevemos
Passo 5
Para fixar
, impomos
Usando
obtém-se