Reescreva a equação do O H Q na seguinte forma: \frac{1}{\rho} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}=\left[\rho x^{2}-\frac{2 E}{\hbar \omega}\right] \psi, \quad \operatorname{com} \rho=\frac{m \omega}{\hbar}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a equação de Schrödinger estacionária do oscilador harmônico quântico na forma
\frac{1}{\rho}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \Bigl[\rho\,x^{2}-\frac{2E}{\hbar\omega}\Bigr]\psi,
introduzindo o parâmetro \rho=\frac{m\omega}{\hbar}. Vamos partir da forma usual da equação e fazer as manipulações algébricas necessárias.

Passo 2

A equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmônico é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} +\frac{1}{2}\,m\omega^{2}x^{2}\,\psi =E\,\psi.

Passo 3

Isolamos o termo com \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} multiplicando toda a equação por -\tfrac{2m}{\hbar^{2}}:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \Bigl[\frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}\,x^{2} -\frac{2mE}{\hbar^{2}}\Bigr]\psi.

Passo 4

Definindo
\rho = \frac{m\omega}{\hbar},
vemos que \rho^{2}=\frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}. Substituindo na equação anterior:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \bigl[\rho^{2}\,x^{2} -\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}\bigr]\psi.

Passo 5

Note que
\frac{2mE}{\hbar^{2}} =\frac{2E}{\hbar\omega}\,\rho.
Então, dividindo ambos os lados por \rho, obtemos exatamente
\frac{1}{\rho}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \Bigl[\rho\,x^{2} -\frac{2E}{\hbar\omega}\Bigr]\psi.

Resposta

\frac{1}{\rho}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \Bigl[\rho\,x^{2}-\frac{2E}{\hbar\omega}\Bigr]\psi, \quad \rho=\frac{m\omega}{\hbar}.

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