Mostre que a solução geral do problema assume a forma:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Schrödinger unidimensional do oscilador harmônico quântico
e mostrar que as autofunções podem ser escritas em termos dos polinômios de Hermite. Vamos precisar transformar essa EDO em forma adimensional, estudar o comportamento assintótico das soluções, usar uma substituição exponencial para isolar uma série e impor que ela termine (o que leva à quantização da energia e aos polinômios de Hermite), e finalmente normalizar o resultado.
Passo 2
Definimos a variável adimensional
e escrevemos
Substituindo na equação original obtemos
Passo 3
Para
a solução se comporta como
. Como queremos funções quadrado-integráveis, escolhemos o sinal negativo e fazemos
Substituindo na EDO em
resulta
que é a equação dos polinômios de Hermite.
Passo 4
Procurando
em forma de série em potências de
, a condição de que a série termine (para que
não cresça exponencialmente) impõe
e identifica
com o polinômio de Hermite
. Dessas condições decorre a quantização
Passo 5
Para normalizar
requeremos
Trocando de variável para
e usando
encontra-se o fator de normalização
Portanto