Mostre que a solução geral do problema assume a forma: \psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{\rho}{2^{n} n!\sqrt{\pi}}} H_{n}(\xi) e^{-\frac{1}{2} \rho^{2} x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Schrödinger unidimensional do oscilador harmônico quântico
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac12\,m\omega^{2}x^{2}\,\psi=E\,\psi
e mostrar que as autofunções podem ser escritas em termos dos polinômios de Hermite. Vamos precisar transformar essa EDO em forma adimensional, estudar o comportamento assintótico das soluções, usar uma substituição exponencial para isolar uma série e impor que ela termine (o que leva à quantização da energia e aos polinômios de Hermite), e finalmente normalizar o resultado.

Passo 2

Definimos a variável adimensional
\xi = \rho\,x \quad\text{com}\quad \rho = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}
e escrevemos
\varepsilon = \frac{2E}{\hbar\omega}.
Substituindo na equação original obtemos
\frac{d^{2}\psi}{d\xi^{2}} + \bigl(\varepsilon - \xi^{2}\bigr)\,\psi = 0.

Passo 3

Para |\xi|\to\infty a solução se comporta como e^{\pm\xi^{2}/2}. Como queremos funções quadrado-integráveis, escolhemos o sinal negativo e fazemos
\psi(\xi)=e^{-\xi^{2}/2}\,u(\xi).
Substituindo na EDO em \xi resulta
u''(\xi)-2\,\xi\,u'(\xi)+\varepsilon\,u(\xi)=0,
que é a equação dos polinômios de Hermite.

Passo 4

Procurando u(\xi) em forma de série em potências de \xi, a condição de que a série termine (para que u não cresça exponencialmente) impõe
\varepsilon = 2n, \quad n=0,1,2,\dots
e identifica u(\xi) com o polinômio de Hermite H_{n}(\xi). Dessas condições decorre a quantização
E_{n} = \hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr).

Passo 5

Para normalizar \psi_{n} requeremos
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{n}(x)|^{2}\,dx = 1.
Trocando de variável para \xi e usando
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^{2}}\,H_{n}^{2}(\xi)\,d\xi =\sqrt{\pi}\,2^{n}\,n!,
encontra-se o fator de normalização
A_{n} =\sqrt{\frac{\rho}{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}.
Portanto
\psi_{n}(x) =A_{n}\,H_{n}(\xi)\,e^{-\xi^{2}/2} =\sqrt{\frac{\rho}{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}\;H_{n}(\rho x)\;e^{-\tfrac12\,\rho^{2}x^{2}}.

Resposta

\psi_{n}(x) =\sqrt{\frac{\rho}{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}\;H_{n}(\xi)\;e^{-\tfrac12\,\rho^{2}x^{2}}, \quad \xi=\rho\,x, \quad \rho=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}.

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