Reescreva novamente para o formato: \frac{d^{2} \psi(\xi)}{d \xi^{2}}=\left(\xi^{2}-\lambda\right) \psi(\xi), \quad \xi=\sqrt{\rho} x=\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x \quad \lambda=\frac{2 E}{\hbar \omega}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Schrödinger independente do tempo para o oscilador harmônico unidimensional
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}} \;+\;\frac{1}{2}\,m\omega^{2}x^{2}\,\psi(x) \;=\;E\,\psi(x)
e pede para reescrevê-la na forma
\frac{d^{2}\psi(\xi)}{d\xi^{2}} = \bigl(\xi^{2}-\lambda\bigr)\,\psi(\xi)
com as mudanças de variável \xi=\sqrt{\rho}\,x=\sqrt{\tfrac{m\omega}{\hbar}}\,x e \lambda=\tfrac{2E}{\hbar\omega}.

Passo 2

Isolamos a segunda derivada em x. Partindo de
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\,\psi = E\,\psi
subtraímos \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\,\psi e multiplicamos por -\tfrac{2m}{\hbar^{2}}, obtendo
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \frac{2m}{\hbar^{2}}\Bigl(\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}-E\Bigr)\psi = \frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}\,x^{2}\,\psi \;-\;\frac{2mE}{\hbar^{2}}\,\psi.

Passo 3

Definimos
\rho = \frac{m\omega}{\hbar}, \quad \xi = \sqrt{\rho}\,x, \quad \lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}.
Como \tfrac{d}{dx} = \sqrt{\rho}\,\tfrac{d}{d\xi}, segue
\frac{d^{2}}{dx^{2}} = \rho\,\frac{d^{2}}{d\xi^{2}}.

Passo 4

Substituindo \tfrac{d^{2}}{dx^{2}}=\rho\,\tfrac{d^{2}}{d\xi^{2}} e x^{2}=\xi^{2}/\rho na equação do Passo 2, temos
\rho\,\frac{d^{2}\psi}{d\xi^{2}} = \rho^{2}\,\frac{\xi^{2}}{\rho}\,\psi \;-\;\rho\,\lambda\,\psi \;\Longrightarrow\; \frac{d^{2}\psi}{d\xi^{2}} = \bigl(\xi^{2}-\lambda\bigr)\,\psi.

Resposta

\frac{d^{2}\psi(\xi)}{d\xi^{2}} = \bigl(\xi^{2}-\lambda\bigr)\,\psi(\xi), \quad \xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x, \quad \lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}.

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