Mostre que a equação do plano que passa pelos três pontos não colineares (x1, y1, z1),(x2, y2, z2) e (x3, y3, z3) é dada por
|cccc x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 |=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o ponto genérico (x,y,z) pertence ao plano determinado pelos três pontos não colineares
l(x1,y1,z1r), l(x2,y2,z2r) e l(x3,y3,z3r) se, e somente se, a seguinte determinante for zero:
x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 =0
Conteúdo usado: interpretação de coplanaridade via produto misto (determinante) e operações elementares em determinantes.

Passo 2

Lembre que quatro pontos são coplanares se, e só se, o volume orientado do tetraedro que eles formam é zero. Esse volume orientado é dado pelo produto misto de três vetores formados a partir de um mesmo vértice. Vamos mostrar que o determinante 4times 4 acima se reduz exatamente ao produto misto
l(P1P,,P1P2,,P1P3r).

Passo 3

Façamos operações de linha que não alteram o valor do determinante: subtraímos a 2ª linha da 1ª, da 3ª e da 4ª. O resultado é a matriz
x - x1 & y - y1 & z - z1 & 0 x1 & y1 & z1 & 1 x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 & 0 x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 & 0

Passo 4

Agora expandimos esse determinante pela 4ª coluna. Só o elemento da 2ª linha é não-nulo (vale 1), e o seu cofator é
(-1)^2+4=+1
Logo o 4times 4 se reduz ao determinante 3times 3 que sobra ao retirar a 2ª linha e a 4ª coluna:
x - x1 & y - y1 & z - z1 x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 x3-x1 & y3-y1 & z3-z1

Passo 5

Esse 3times 3 é exatamente o produto misto
detl[P1P,,P1P2,,P1P3r] =l(P1Pr)cdotl(P1P2timesP1P3r)
E sabemos que esse produto misto é zero sse os quatro pontos são coplanares. Portanto a equação do plano é exatamente
x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 =0

Resposta

boxed x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 =0

Exercícios relacionados