Mostre que a equação do plano que passa pelos três pontos não colineares e é dada por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o ponto genérico (x,y,z) pertence ao plano determinado pelos três pontos não colineares l(x1,y1,z1r), l(x2,y2,z2r) e l(x3,y3,z3r) se, e somente se, a seguinte determinante for zero:
x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 =0
Conteúdo usado: interpretação de coplanaridade via produto misto (determinante) e operações elementares em determinantes.
Passo 2
Lembre que quatro pontos são coplanares se, e só se, o volume orientado do tetraedro que eles formam é zero. Esse volume orientado é dado pelo produto misto de três vetores formados a partir de um mesmo vértice. Vamos mostrar que o determinante 4times 4 acima se reduz exatamente ao produto misto l(P1P,,P1P2,,P1P3r).
Passo 3
Façamos operações de linha que não alteram o valor do determinante: subtraímos a 2ª linha da 1ª, da 3ª e da 4ª. O resultado é a matriz