Sejam a1, a2, a3 e a4 números reais distintos. Mostre que
|llll 1 & a1 & a1^2 & a1^3 1 & a2 & a2^2 & a2^3 1 & a3 & a3^2 & a3^3 1 & a4 & a4^2 & a4^3 |=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3) neq 0
Para quaisquer números reais b1, b2, b3 e b4, use esse resultado para provar que existe uma única curva cúbica, com equação y=a+b x+c x^2+d x^3 que passa pelos quatro pontos (a1, b1),(a2, b2),(a3, b3) e (a4, b4). (Não determine, de fato, os valores de a, b, c e d.)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de Vandermonde de ordem 4
V = 1 & a1 & a1^2 & a1^3 1 & a2 & a2^2 & a2^3 1 & a3 & a3^2 & a3^3 1 & a4 & a4^2 & a4^3
com a1,a2,a3,a4 reais e distintos, e pede para mostrar que
det(V)=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)neq0
Em seguida, para quaisquer b1,b2,b3,b4, quer-se provar que existe e é única a cúbica
y = alpha + beta x + gamma x^2 + de<a x^3
que passa por (ai,bi), i=1,dots,4. Vamos usar operações elementares para fatorar det(V) e depois mostrar que o sistema para alpha,beta,gamma,de<a tem solução única porque det(V)neq0.

Passo 2

Começamos mostrando a fórmula do determinante. Da matriz V, subtraímos da coluna j a coluna j-1 multiplicada por a1, para j=2,3,4. Após essas operações, a primeira linha fica (1,0,0,0) e, para i>=2, a entrada na linha i, coluna j torna-se
ai^,j-1-a1,ai^,j-2=ai^,j-2(ai - a1)
Isto produz uma matriz triangular de blocos, cujas entradas diagonais são
1, (a2-a1), (a3-a1)a3, (a4-a1)a4^2
Logo
det(V) =1cdot (a2-a1)cdot (a3-a1)a3cdot (a4-a1)a4^2
multiplicado pelos determinantes dos sub-blocos que, repetindo argumento de fatorar (ai-a2) e depois (ai-a3), dá exatamente
prod1<= i<j<=4(aj-ai)

Passo 3

Como os ai são todos distintos, cada fator (aj-ai) é não nulo. Portanto
det(V)=prod1<= i<j<=4(aj-ai)neq0

Passo 4

Agora consideramos o sistema linear que exige a cúbica
Em forma matricial, é , a matriz é invertível, logo existe solução única .

Resposta

Para quaisquer pontos l(ai,bir) com ai distintos existe e é única a curva cúbica y=alpha+beta x+gamma x^2+de<a x^3 que os interpola, pois o sistema de Vandermonde associado tem determinante não nulo.

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