Mostre que a equação do plano que passa pelos três pontos não colineares (x1, y1, z1),(x2, y2, z2) e (x3, y3, z3) é dada por
|cccc x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 |=0
O que acontece se os três pontos forem colineares? [Sugestão: Explique o que acontece quando aplicamos escalonamento por linhas para calcular o determinante.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a condição de coplanaridade dos pontos
(x,y,z), (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) e (x3,y3,z3) equivale a
det x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 =0
O conteúdo que vamos usar é álgebra linear (operações elementares em determinantes) e interpretação geométrica do produto misto (determinante 3times3) como volume de um paralelepípedo.

Passo 2

Aplique as operações de linha
L2 L2-L1,
L3 L3-L1,
L4 L4-L1. Essas operações não alteram o valor do determinante. O bloco fica:
det x & y & z & 1 x1-x & y1-y & z1-z & 0 x2-x & y2-y & z2-z & 0 x3-x & y3-y & z3-z & 0

Passo 3

Agora expanda esse determinante pela 4ª coluna. Só o elemento da posição (1,4) é não nulo e vale 1, com sinal de cofactor
(-1)^1+4= -1. Logo
det x & y & z & 1 x1-x & y1-y & z1-z & 0 x2-x & y2-y & z2-z & 0 x3-x & y3-y & z3-z & 0 = -1 ;det x1-x & y1-y & z1-z x2-x & y2-y & z2-z x3-x & y3-y & z3-z
Portanto a igualdade a zero exige
det x1-x & y1-y & z1-z x2-x & y2-y & z2-z x3-x & y3-y & z3-z =0,
que é exatamente o produto misto l[(P1-P),(P2-P),(P3-P)r]=0. Geometricamente, isso diz que o volume do tetraedro é zero, ou seja, (x,y,z) está no plano determinado por P1,P2,P3.

Passo 4

Se os três pontos (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) forem colineares, então as linhas 2, 3 e 4 após o escalonamento em

Passo 5

det x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 =0
é trivializada em 0=0, ou seja, não há plano definido (a equação degenera).

Resposta

A equação do plano é
|cccc x & y & z & 1 x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 |=0
Se os três pontos forem colineares, o determinante é identicamente zero e a equação se reduz a 0=0, mostrando que não há plano único (caso degenerado).

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