Seja Mn, n(R) o espaço vetorial das matrizes n times n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn, n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em M2,2(R) que mostra que não é.
B in Mn, n(R) mid A B=0 com A in Mn, n(R) uma matriz fixa.

Passo 1

O enunciado define
Mn,n(R) como o espaço vetorial de todas as matrizes ntimes n sobre R e
W = ,Bin Mn,n(R) mid A,B = 0
com A fixada.
O conteúdo é teste de subespaço: devemos verificar que W é não-vazio e fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o elemento neutro 0in Mn,n(R) (zero-matrix) pertence a W, pois
A ,0 ;=;0
Logo, Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob adição. Seja B1,B2in W. Então
A,B1 = 0 e A,B2 = 0
Logo
A,(B1 + B2) = A,B1 + A,B2 = 0 + 0 = 0,
ou seja, B1+B2in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Para qualquer escalar cinR e Bin W temos
A,(c,B) = c,(A,B) = c,0 = 0,
logo cBin W.

Resposta

W é subespaço de Mn,n(R), pois contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalares.

Exercícios relacionados