Seja
o espaço vetorial das matrizes
. Para cada dos seguintes subconjuntos
de
, decida se
é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em
que mostra que não é.
com
uma matriz fixa.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as matrizes
sobre
e
com
fixada.
O conteúdo é teste de subespaço: devemos verificar que é não-vazio e fechado sob soma e multiplicação escalar.
O conteúdo é teste de subespaço: devemos verificar que
Passo 2
Verificamos que o elemento neutro
(zero-matrix) pertence a
, pois
Logo,
.
Passo 3
Fechamento sob adição. Seja
. Então
Logo
ou seja,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Para qualquer escalar
e
temos
logo
.