Seja Mn, n(R) o espaço vetorial das matrizes n times n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn, n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em M2,2(R) que mostra que não é.
O conjunto das matrizes triangulares para cima

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
W=Ain Mn,n(R)mid A é triangular superior é
é um subespaço de Mn,n(R). Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial: (i) não-vazio (verificamos o zero), (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0in Mn,n(R) é triangular superior, pois para todo par de índices com i>j temos
(0)ij=0

Passo 3

Sejam A,Bin W. Então, por serem triangulares superiores,
aij=0e bij=0
sempre que i>j. No somante A+B, o elemento na posição (i,j) com i>j é
(A+B)ij=aij+bij=0+0=0,
logo A+Bin W.

Passo 4

Seja alphainR e Ain W. Como aij=0 sempre que i>j, temos
(alpha A)ij=alpha,aij=alphacdot 0=0
para todo i>j. Portanto alpha Ain W.

Resposta

W é subespaço vetorial de Mn,n(R).

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