Seja
o espaço vetorial das matrizes
. Para cada dos seguintes subconjuntos
de
, decida se
é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em
que mostra que não é.
O conjunto das matrizes triangulares para cima
O conjunto das matrizes triangulares para cima
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço vetorial: (i) não-vazio (verificamos o zero), (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
é triangular superior, pois para todo par de índices com
temos
Passo 3
Sejam
. Então, por serem triangulares superiores,
sempre que
. No somante
, o elemento na posição
com
é
logo
.
Passo 4
Seja
e
. Como
sempre que
, temos
para todo
. Portanto
.