Mostre que a equação do plano tangente em (x0, y0, z0) a uma superfície regular dada por f(x, y, z)=0, onde 0 é um valor regular de f, é
fx(x0, y0, z0)(x-x0)+fy(x0, y0, z0)(y-y0)+fz(x0, y0, z0)(z-z0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície regular definida implicitamente por f(x,y,z)=0, com f:R^3toR e assume que 0 é valor regular de f, ou seja, nabla f(x0,y0,z0) neq (0,0,0). Precisamos encontrar a equação do plano que melhor aproxima essa superfície em torno de (x0,y0,z0), ou seja, o plano tangente.

Passo 2

Lembramos que a expansão de Taylor de primeira ordem de f em torno de (x0,y0,z0) é
f(x,y,z)approx f(x0,y0,z0) +fx(x0,y0,z0),(x-x0) +fy(x0,y0,z0),(y-y0) +fz(x0,y0,z0),(z-z0)
Como (x0,y0,z0) pertence à superfície, temos f(x0,y0,z0)=0.

Passo 3

Para pontos (x,y,z) próximos de (x0,y0,z0) que ainda pertencem à superfície, vale f(x,y,z)=0. Substituindo na expansão de Taylor e desprezando termos de ordem superior, obtemos a condição
0 approx fx(x0,y0,z0),(x-x0) +fy(x0,y0,z0),(y-y0) +fz(x0,y0,z0),(z-z0)

Passo 4

A expressão acima é justamente a equação linear que define o plano tangente em (x0,y0,z0). Ela decorre do fato de que o gradiente nabla f(x0,y0,z0) é normal à superfície em (x0,y0,z0) e, portanto, qualquer vetor no plano tangente deve ser ortogonal a esse gradiente.

Resposta

fx(x0,y0,z0),(x-x0) +fy(x0,y0,z0),(y-y0) +fz(x0,y0,z0),(z-z0) =0

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