Mostre que a equação do plano tangente em
a uma superfície regular dada por
, onde
é um valor regular de
, é
Passo 1
O enunciado nos dá uma superfície regular definida implicitamente por
, com
e assume que
é valor regular de
, ou seja,
. Precisamos encontrar a equação do plano que melhor aproxima essa superfície em torno de
, ou seja, o plano tangente.
Passo 2
Lembramos que a expansão de Taylor de primeira ordem de
em torno de
é
Como
pertence à superfície, temos
.
Passo 3
Para pontos
próximos de
que ainda pertencem à superfície, vale
. Substituindo na expansão de Taylor e desprezando termos de ordem superior, obtemos a condição
Passo 4
A expressão acima é justamente a equação linear que define o plano tangente em
. Ela decorre do fato de que o gradiente
é normal à superfície em
e, portanto, qualquer vetor no plano tangente deve ser ortogonal a esse gradiente.