Mostre que a equação
torna-se linear, com incógnita
, por meio da substituição
. (Não a resolva.) (1pto)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para mostrar que, com a substituição
essa ODE fica linear na incógnita
. Vamos precisar calcular
em função de
e depois reescrever todos os termos da direita em função de
, verificando que o resultado é da forma
Passo 2
Calculemos
a partir de
. Derivando em
temos
Passo 3
Reescrevamos cada parcela da parte direita da ODE em função de
:
.
.
. Primeiro note que
Logo
Distributindo:
– O termo com dá
.\n
– O termo com dá
\n
– O termo com dá
– O termo com
– O termo com
– O termo com
Passo 4
Somando tudo na parte direita da ODE:
Os
se cancelam, restando
Portanto a ODE fica
Passo 5
Igualando ao
obtido no passo
:
Subtraindo
de ambos os lados e multiplicando por
obtemos
Simplificando cada termo:
Passo 6
Reescrevendo em forma canônica linear em
:
Isso mostra que, de fato, a equação fica linear na incógnita
.
Resposta
A substituição leva à ODE linear