Mostre que a equação y^{\prime}=40 \operatorname{sen} x+2 y x^{-1}-8 y^{2}(\operatorname{sen} x) / 5 x^{4} torna-se linear, com incógnita z, por meio da substituição y=5 x^{2}+z^{-1}. (Não a resolva.) (1pto)

Passo 1

O enunciado dá a equação
y' = 40\operatorname{sen} x \;+\;2\,y\,x^{-1}\;-\;\frac{8\,y^{2}\,\operatorname{sen} x}{5\,x^{4}}
e pede para mostrar que, com a substituição
y = 5\,x^{2} + z^{-1},
essa ODE fica linear na incógnita z. Vamos precisar calcular y' em função de z e depois reescrever todos os termos da direita em função de z, verificando que o resultado é da forma
z' + p(x)\,z = q(x).

Passo 2

Calculemos y' a partir de y=5x^2+z^{-1}. Derivando em x temos
y' = \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(z^{-1}) = 10x - z^{-2}\,z'.

Passo 3

Reescrevamos cada parcela da parte direita da ODE em função de z:
1. 2\,y\,x^{-1} = 2\,(5x^2 + z^{-1})\,x^{-1} = 10x + 2\,z^{-1}x^{-1}.
2. -\dfrac{8\,y^2\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}. Primeiro note que
y^2 = (5x^2 + z^{-1})^2 = 25x^4 + 10x^2\,z^{-1} + z^{-2}.
Logo
-\frac{8\,y^2\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4} = -\frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}\bigl(25x^4 + 10x^2\,z^{-1} + z^{-2}\bigr).
Distributindo:
– O termo com 25x^4 -\frac{8}{5}\cdot25\,\operatorname{sen} x = -40\operatorname{sen} x.\n
– O termo com 10x^2\,z^{-1} -\frac{8}{5}\cdot10\,\operatorname{sen} x\,\frac{x^2}{x^4}\,z^{-1} = -16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\,z^{-1}.\n
– O termo com z^{-2} -\frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}\,z^{-2}.

Passo 4

Somando tudo na parte direita da ODE:
40\operatorname{sen} x \;+\; \bigl(10x + 2\,z^{-1}x^{-1}\bigr) \;-\;40\operatorname{sen} x \;-\;16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\,z^{-1} \;-\;\frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}\,z^{-2}.
Os 40\operatorname{sen} x se cancelam, restando
10x + 2\,z^{-1}x^{-1} -16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\,z^{-1} - \frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}\,z^{-2}.
Portanto a ODE fica
y' = 10x + 2\,z^{-1}x^{-1} -16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\,z^{-1} - \frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}\,z^{-2}.

Passo 5

Igualando ao y' obtido no passo 2:
10x - z^{-2}\,z' = 10x + 2\,z^{-1}x^{-1} -16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\,z^{-1} - \frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}\,z^{-2}.
Subtraindo 10x de ambos os lados e multiplicando por -z^2 obtemos
z' = -z^2\Bigl(2\,z^{-1}x^{-1} -16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\,z^{-1} - \frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}\,z^{-2}\Bigr).
Simplificando cada termo:
z' = -2\,\frac{z}{x} +16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\,z + \frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}.

Passo 6

Reescrevendo em forma canônica linear em z:
z' + \Bigl(\frac{2}{x} -16\,\frac{\operatorname{sen} x}{x^2}\Bigr)z = \frac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}.
Isso mostra que, de fato, a equação fica linear na incógnita z.

Resposta

A substituição leva à ODE linear
z' + \Bigl(\tfrac{2}{x} -16\,\tfrac{\operatorname{sen} x}{x^2}\Bigr)z = \tfrac{8\,\operatorname{sen} x}{5\,x^4}.

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