Resolva a equação diferencial dada (nāo usar transformada de Laplace)
y^{i v}-81 y=0
y^{i v}-81 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
Sem usar transformada de Laplace, vamos aplicar o método da equação característica.
Passo 2
Para uma EDO linear homogênea de ordem quatro, buscamos soluções da forma
. Substituindo em
obtemos a equação característica
Passo 3
Resolvendo
temos as quatro raízes de
:
Passo 4
Cada raiz real gera uma solução exponencial, e cada par de raízes complexas conjugadas gera combinações de cosseno e seno. Assim, as soluções básicas são
Convertendo a parte complexa para funções reais, obtemos e
.
Convertendo a parte complexa para funções reais, obtemos
Passo 5
Agrupando tudo, a solução geral real da EDO é
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.