Resolva a equação diferencial dada (nāo usar transformada de Laplace)
y^{i v}-81 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^{(4)} - 81\,y = 0
Sem usar transformada de Laplace, vamos aplicar o método da equação característica.

Passo 2

Para uma EDO linear homogênea de ordem quatro, buscamos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo em
y^{(4)} - 81\,y = 0
obtemos a equação característica
r^4 - 81 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^4 = 81 = 3^4
temos as quatro raízes de r:
r = 3,\quad r = -3,\quad r = 3i,\quad r = -3i.

Passo 4

Cada raiz real gera uma solução exponencial, e cada par de raízes complexas conjugadas gera combinações de cosseno e seno. Assim, as soluções básicas são
\displaystyle e^{3x},\,e^{-3x},\,e^{3ix},\,e^{-3ix}.
Convertendo a parte complexa para funções reais, obtemos \cos(3x) e \sin(3x).

Passo 5

Agrupando tudo, a solução geral real da EDO é
y(x) = C_{1}\,e^{3x} + C_{2}\,e^{-3x} + C_{3}\,\cos(3x) + C_{4}\,\sin(3x),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{3x} + C_{2}\,e^{-3x} + C_{3}\,\cos(3x) + C_{4}\,\sin(3x).

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