Questão. Seja a superfície definida por:
(1) Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto
.
(2) Determine a equação da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
(2) Determine a equação da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e pede (1) a equação do plano tangente em
e (2) a equação da reta normal nesse mesmo ponto. Para isso vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente da função definida por
, depois aplicar a fórmula do plano tangente e, em seguida, escrever a reta normal usando o vetor normal ao plano.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
A derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
No ponto
isso fica
Passo 3
A fórmula do plano tangente a
em
é
Aqui
,
e
.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do plano tangente, obtemos
Reorganizando em forma explícita,
Passo 5
O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes das variáveis em
isto é,
. A reta normal passa por
e tem direção
, então sua forma paramétrica é
Resposta
(1) Plano tangente:
(2) Reta normal: