{ }^{a} Questão. Seja a superfície definida por:
z=x^{2} e^{y}-y^{3}
(1) Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,0,1).
(2) Determine a equação da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
z = x^{2}e^{y} - y^{3}
e pede (1) a equação do plano tangente em (1,0,1) e (2) a equação da reta normal nesse mesmo ponto. Para isso vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente da função definida por f(x,y)=x^{2}e^{y}-y^{3}, depois aplicar a fórmula do plano tangente e, em seguida, escrever a reta normal usando o vetor normal ao plano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
f(x,y)=x^{2}e^{y}-y^{3}.
A derivada parcial em relação a x é
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{y}\bigr)=2x\,e^{y},
e em relação a y é
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}e^{y}-y^{3}\bigr) =x^{2}e^{y}-3y^{2}.
No ponto (1,0) isso fica
f_{x}(1,0)=2\cdot1\cdot e^{0}=2, \quad f_{y}(1,0)=1^{2}e^{0}-3\cdot0^{2}=1.

Passo 3

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,0,1), f_{x}(1,0)=2 e f_{y}(1,0)=1.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do plano tangente, obtemos
z - 1 = 2\,(x - 1) + 1\,(y - 0).
Reorganizando em forma explícita,
z = 2x + y -1.

Passo 5

O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes das variáveis em
2\,(x - 1) + 1\,(y - 0) - (z - 1)=0,
isto é, \mathbf{n}=(2,1,-1). A reta normal passa por (1,0,1) e tem direção \mathbf{n}, então sua forma paramétrica é
\begin{cases} x=1+2t,\\\ y=0+1t,\\\ z=1-1t. \end{cases}

Resposta

(1) Plano tangente:
z = 2x + y -1.
(2) Reta normal:
x=1+2t,\quad y=t,\quad z=1-t.

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