Mostre que as soluções estritamente positivas de y^{\prime}=e^{y}-1 são crescentes e não têm inflexão (não “mudam de concavidade”), sem resolver a equação. (2pts)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO autônoma
y' = e^y - 1
e pede, para soluções com y(t)>0, que provemos sem resolver a equação que elas são crescentes e não mudam de concavidade. Para isso vamos analisar o sinal de y' (monotonicidade) e de y'' (concavidade).

Passo 2

Monotonicidade. Se y(t)>0, então
e^{y(t)}>1 \quad\Longrightarrow\quad y'(t)=e^{y(t)}-1>0.
Logo, y é estritamente crescente.

Passo 3

Concavidade. Derivando novamente em relação a t,
y''(t) =\frac{d}{dt}\bigl(e^{y(t)}-1\bigr) =e^{y(t)}\,y'(t).
Como e^{y(t)}>0 e já vimos que y'(t)>0, segue que
y''(t)>0
para todo t. Portanto y é estritamente convexa (concavidade voltada para cima) e não há ponto de inflexão.

Resposta

As soluções estritamente positivas de \,y'=e^y-1 são estritamente crescentes e concavas para cima, não apresentando inflexão.

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