Mostre que as soluções estritamente positivas de
são crescentes e não têm inflexão (não “mudam de concavidade”), sem resolver a equação. (2pts)
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO autônoma
e pede, para soluções com
, que provemos sem resolver a equação que elas são crescentes e não mudam de concavidade. Para isso vamos analisar o sinal de
(monotonicidade) e de
(concavidade).
Passo 2
Monotonicidade. Se
, então
Logo,
é estritamente crescente.
Passo 3
Concavidade. Derivando novamente em relação a
,
Como
e já vimos que
, segue que
para todo
. Portanto
é estritamente convexa (concavidade voltada para cima) e não há ponto de inflexão.
Resposta
As soluções estritamente positivas de
são estritamente crescentes e concavas para cima, não apresentando inflexão.