Suponha f, g, p, q funções de uma variável x e que f é solução de y^{\prime}=p y. Mostre que, ao substituir f g em y^{\prime}=p y+q, podemos eliminar g e isolar g^{\prime}. (2pts)

Passo 1

O enunciado dá quatro funções de x: f, g, p e q. Sabe-se que f satisfaz a equação homogênea de primeira ordem
y' = p\,y.
Queremos mostrar que, ao tentar resolver a equação não-homogênea
y' = p\,y + q
pela substituição
y = f\,g,
é possível eliminar g e obter uma expressão isolada para g'. O método usado aqui é o da variação de constantes para EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Substituímos y = f\,g na equação não-homogênea e calculamos y' usando a regra do produto:
y' = (f\,g)' = f'\,g + f\,g'.

Passo 3

Como f satisfaz a equação homogênea y' = p\,y, temos
f' = p\,f.

Passo 4

Voltando à equação não-homogênea, substituímos y' e y:
f'\,g + f\,g' = p\,(f\,g) + q.

Passo 5

Usamos f' = p\,f para simplificar:
(p\,f)\,g + f\,g' = p\,f\,g + q \quad\Longrightarrow\quad p\,f\,g + f\,g' = p\,f\,g + q.
Cancelando p\,f\,g dos dois lados, sobra
f\,g' = q,
ou seja
g' = \frac{q}{f}.

Resposta

g' = \frac{q}{f}.

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