Suponha
funções de uma variável
e que
é solução de
. Mostre que, ao substituir
em
, podemos eliminar
e isolar
. (2pts)
Passo 1
O enunciado dá quatro funções de
:
,
,
e
. Sabe-se que
satisfaz a equação homogênea de primeira ordem
Queremos mostrar que, ao tentar resolver a equação não-homogênea
pela substituição
é possível eliminar
e obter uma expressão isolada para
. O método usado aqui é o da variação de constantes para EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Substituímos
na equação não-homogênea e calculamos
usando a regra do produto:
Passo 3
Como
satisfaz a equação homogênea
, temos
Passo 4
Voltando à equação não-homogênea, substituímos
e
:
Passo 5
Usamos
para simplificar:
Cancelando
dos dois lados, sobra
ou seja