Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
x^2+y^2+x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2+x=0
e pede para mostrarmos que ela representa uma circunferência, além de determinar seu centro e seu raio. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado no termo em x.

Passo 2

Primeiro, reorganizamos os termos envolvendo x:
x^2+x+y^2=0
Em seguida, completamos o quadrado para x^2+x adicionando e subtraindo l(tfrac12r)^2:
x^2+x + l(tfrac12r)^2 ;-;l(tfrac12r)^2 + y^2 = 0

Passo 3

Agora agrupamos para reconhecer o quadrado perfeito:
l(x+tfrac12r)^2 - tfrac14 + y^2 = 0 Longrightarrow l(x+tfrac12r)^2 + y^2 = tfrac14
Este é o formato padrão de uma circunferência, que deve ser
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Passo 4

Comparando
l(x-(-tfrac12)r)^2 + (y-0)^2 = l(tfrac12r)^2,
vemos que o centro é l(-tfrac12,0r) e o raio é tfrac12.

Resposta

O lugar geométrico é uma circunferência de centro l(-tfrac12,0r) e raio tfrac12.

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