Mostre que a equação a seguir não é exata, mas se torna exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. A seguir, resolva a equação.
Passo 1
A equação dada é $(x{2}+y{2}-x),dx - y,dy = 0$. O conteúdo é EDO exata e fator integrante. Vamos precisar conhecer o teste de exatidão ($M_{y}=N_{x}$) e o conceito de fator integrante, além de saber integrar funções racionais e logaritmos para achar a função potencial.
Passo 2
Identificamos \M(x,y)=x{2}+y{2}-x\ e \N(x,y)=-y\. Calculamos \frac{\partial M}{\partial y}=2y\ e \frac{\partial N}{\partial x}=0\, como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Multiplicamos tudo pelo fator integrante \mu(x,y)=(x{2}+y{2})^{-1}\. Definimos \M^{}=\mu M=1-\frac{x}{x{2}+y{2}}\ e \N^{}=\mu N=-\frac{y}{x{2}+y{2}}\.
Passo 4
Verificamos exatidão da nova equação checando \frac{\partial M^{}}{\partial y}\ e \frac{\partial N^{}}{\partial x}\: Começamos por \frac{\partial M^{}}{\partial y}=-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\frac{x}{x{2}+y{2}}\bigr)=2xy/(x{2}+y{2})^{2}\; Depois \frac{\partial N^{}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\frac{y}{x{2}+y{2}}\bigr)=2xy/(x{2}+y{2})^{2}\. Como coincidem, a equação é exata.
Passo 5
Agora achamos a função potencial \psi(x,y)\ tal que \psi_{x}=M^{*}\. Integramos:
Passo 6
Para determinar \;h(y)\, calculamos \psi_{y}=-\frac{y}{x{2}+y{2}}+h’(y)\ e igualamos a \N{*}=-\frac{y}{x{2}+y^{2}}\. Daí \;h’(y)=0\, logo \;h\ é constante. A solução geral fica dada implicitamente por \;\psi(x,y)=C\, ou seja: \;x-\tfrac{1}{2}\ln(x{2}+y{2})=C\.
Resposta
x - \frac{1}{2}\ln\bigl(x{2}+y{2}\bigr) = C