(2,0) Mostre que a equação x^2=cos x tem solução no intervalo (0, pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe solução de
x^2 = cos x
no intervalo (0,pi/2). Vamos definir a função
f(x) = x^2 - cos x
e usar o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano), que garante raiz sempre que f for contínua e mudar de sinal.

Passo 2

Calcular f(0). Temos
f(0) = 0^2 - cos 0 = -1 < 0

Passo 3

Calcular f(pi/2). Como cos(pi/2)=0,
fl(tfracpi2r) = l(tfracpi2r)^2 - 0 = pi^24 > 0

Passo 4

A função f é contínua em [0,pi/2] pois é combinação de polinômio e cosseno. Como f(0)<0 e f(pi/2)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(0,pi/2) tal que
f(c)=0,
ou seja,
c^2 = cos c

Resposta

Existe pelo menos uma solução de x^2=cos x em (0,pi/2).

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