Sabe-se que y=c1 e^x+c2 e^-x é uma família a dois parâmetros de soluções de y^prime prime-y=0 no intervalo (-infty,+infty). Encontre uma solução para a equação diferencia do problema anterior satisfazendo as condições de contorno y(0)=0, y(1)=1.

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial y''-y=0 para xin(-infty,+infty) com as condições de contorno y(0)=0 e y(1)=1. A solução geral dessa equação é
y(x)=c1e^x+c2e^-x

Passo 2

Aplicando a condição y(0)=0, temos:
y(0)=c1e^0+c2e^0=c1+c2=0
Logo,
c2=-c1

Passo 3

Agora aplicamos y(1)=1. Substituindo c2=-c1 na expressão geral:
y(1)=c1e^1+(-c1)e^-1=c1l(e-e^-1r)=1
Dessa relação segue que
c1=1e-e^-1

Passo 4

Com c1 e c2=-c1 definidos, escrevemos a solução particular:
y(x)=c1l(e^x-e^-xr)=e^x-e^-xe-e^-1
Reconhecendo e^x-e^-x=2sinh x e e-e^-1=2sinh1, obtemos
y(x)=sinh xsinh1

Resposta

y(x)=sinh xsinh1

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