Todas as respostas devem ter justificativas.
Considere o sistema:
X^prime(t)=[ll -2 & 1 -5 & 4 ] X(t)
Qué tipo de ponto é a origem?

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
X'(t)=A,X(t),
onde
A=-2 & 1-5 & 4
Queremos classificar o ponto de equilíbrio na origem usando análise de autovalores de A.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
detl(A-lambda Ir) =-2-lambda & 1[6pt]-5 & 4-lambda =(-2-lambda)(4-lambda)+5
Desenvolvendo, obtemos
(-2-lambda)(4-lambda)+5 =lambda^2-2lambda-8+5 =lambda^2-2lambda-3 ]

Passo 3

Resolvendo
lambda^2-2lambda-3=0
pelas fórmulas de Bhaskara, temos
lambda=2pmraiz4+122 =2pm42,
logo os autovalores são
lambda1=3 e lambda2=-1

Passo 4

Como os autovalores são reais e têm sinais opostos (um positivo e um negativo), a origem é um ponto de sela. Além disso, por haver um autovalor positivo, esse ponto de sela é instável.

Resposta

A origem é um ponto de sela (instável).

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